Question

已知二次函數（a＞0）的圖象與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點，與y軸交于點C，x₁，x₂是方程的兩根．

（1）若拋物線的頂點為D，求S_△ABC：S_△ACD的值；

（2）若∠ADC=90°，求二次函數的解析式．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）解方程，得x=－5或x=1，

∵x₁＜x₂，∴x₁=﹣5，x₂=1。∴A（﹣5，0），B（1，0）。

∴拋物線的解析式為：（a＞0）。

∴對稱軸為直線x=2，頂點D的坐標為（－2，－9a）。

令x=0，得y=－5a，∴C點的坐標為（0，﹣5a）。

依題意畫出圖形，如圖所示，

則OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a。

過點D作DE⊥y軸于點E，

則DE=2，OE=9a，CE=OE－OC=4a。

∴

 。

而，

∴。

（2）如圖所示，

在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD²=DE²+CE²=4+16a²，

在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC²=OA²+OC²=25+25a²，

設對稱軸x=2與x軸交于點F，則AF=3，

在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD²=AF²+DF²=9+81a²。

∵∠ADC=90°，∴△ACD為直角三角形，

由勾股定理得：AD²+CD²=AC²，

即，化簡得：。

∵a＞0，∴。

∴拋物線的解析式為：，即。

【解析】（1）首先解一元二次方程，求出點A、點B的坐標，得到含有字母a的拋物線的交點式；然后分別用含字母a的代數式表示出△ABC與△ACD的面積，最后得出結論。

（2）在Rt△ACD中，利用勾股定理，列出一元二次方程，求出未知系數a，得出拋物線的解析式。