Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，點C坐標為（﹣1，0），點A坐標為（0，2）．一次函數y＝kx+b的圖象經過點B、C，反比例函數y＝的圖象經過點B．

（1）求一次函數和反比例函數的關系式；

（2）直接寫出當x＜0時，kx+b﹣＜0的解集；

（3）在x軸上找一點M，使得AM+BM的值最小，直接寫出點M的坐標和AM+BM的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x﹣，y＝﹣；（2）﹣3＜x＜0；（3）點M的坐標為（﹣2，0），AM+BM的最小值為3．

【解析】

（1）過點B作BF⊥x軸于點F，由△AOC≌△CFB求得點B的坐標，利用待定系數法可求出一次函數和反比例函數的關系式；

（2）當x＜0時，求出一次函數值y＝kx+b小于反比例函數y＝的x的取值范圍，結合圖形即可直接寫出答案．

（3）根據軸對稱的性質，找到點A關于x的對稱點A′，連接BA′，則BA′與x軸的交點即為點M的位置，求出直線BA′的解析式，可得出點M的坐標，根據B、A′的坐標可求出AM+BM的最小值．

解：（1）過點B作BF⊥x軸于點F，

∵點C坐標為(﹣1,0)，點A坐標為（0,2）．

∴OA＝2，OC＝1，

∵∠BCA＝90°，

∴∠BCF+∠ACO＝90°，

又∵∠CAO+∠ACO＝90°，

∴∠BCF＝∠CAO，

在△AOC和△CFB中

∴△AOC≌△CFB（AAS），

∴FC＝OA＝2，BF＝OC＝1，

∴點B的坐標為（﹣3，1），

將點B的坐標代入反比例函數解析式可得： ，

解得：k＝﹣3，

故可得反比例函數解析式為y＝﹣；

將點B、C的坐標代入一次函數解析式可得：，

解得：．

故可得一次函數解析式為．

（2）結合點B的坐標及圖象，可得當x＜0時，＜0的解集為：﹣3＜x＜0；

（3）作點A關于x軸的對稱點A′，連接 B A′與x軸 的交點即為點M，

∵A（0，2），作點A關于x軸的對稱點A′，

∴A′（0，﹣2），

設直線BA′的解析式為y＝ax+b，將點A′及點B的坐標代入可得：

解得：，

故直線BA′的解析式為y＝﹣x﹣2，

令y＝0，可得﹣x﹣2＝0，

解得：x＝﹣2，

故點M 的坐標為（﹣2，0），

AM+BM＝BM+MA′＝BA′＝．

綜上可得：點M的坐標為（﹣2，0），AM+BM的最小值為．