Question

【題目】學生小明將線段的垂直平分線上的點，稱作線段的“軸點”.其中，當時，稱為線段的“長軸點”；當時，稱為線段的“短軸點”.

（1）如圖1，點，的坐標分別為，，則在，，，中線段的“短軸點”是______.

（2）如圖2，點的坐標為，點在軸正半軸上，且.

①若為線段的“長軸點”，則點的橫坐標的取值范圍是（ ）

A. B. C. D.或

②點為軸上的動點，點，在線段的垂直平分線的同側.若為線段的“軸點”，當線段與的和最小時，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1），；（2）①D；② .

【解析】

（1）先排除點,再分別表示角的正切值，根據特殊角的正切值，得出三個角的范圍即可得出答案；

（2）①根據已知求出AB的長，作線段AB 的垂直平分線，并分別求出t=0,及t=3時，角的度數，從而得出點P為AB的長軸點時t的范圍；

②根據題意，得出當點與點重合，為與直線的交點時，最小.再根據OA=3列方程即可得出答案.

解：（1）

點P在線段AB的垂直平分線l上

不是線段AB的“軸點”

,,

，,

,，

點為線段AB的“短軸點”，點為線段AB的“短軸點”，點為線段AB的“長軸點”.

故答案為：，.

（2）①D

直線AB函數：

作線段AB的垂直平分線l，與AB交與點M，作交直線l與點，此時點P橫坐標為3，直線l與y軸的交點為點P橫坐標為0的情況.連接 ,.

同理可知，

當或時，點P為線段AB的“長軸點”

故選D.

②根據題意，點在線段的垂直平分線上.

點，在直線的同側時，

對于滿足題意的點的每一個位置，都有.

∵，，

∴當點與點重合，為與直線的交點時，最小.

如圖，∵，，

∴.

∴.

在中，設，則.

∴.解得x=1.

∴.

綜上，當線段與的和最小時，點的坐標為.