Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，點E在DC上，AE，BC的延長線相交于點F，若AE=10，則S_△ADE+S_△CEF的值是______．

Answer 1

如圖，延長DA，過B作BM⊥DA，交其延長線于M．
∴四邊形DCBM是正方形，
∴DM=BC=CD=12，再把△BEC旋轉到△BMN的位置，
∴BN=BE，∠EBC=∠MBN，CE=MN
∵∠ABE=45°
∴∠EBC+∠ABM=90°-45°=45°
∴∠ABN=∠ABM+∠MBN=45°，AB公共
∴△ABN≌△ABE
∴AN=AE=10，設CE=x，那么MN=x，DE=CD-CE=12-x，AM=10-x，AD=12-AM=2+x，
在Rt△ADE中：AD²+DE²=AE²
∴（2+x）²+（12-x）²=10²
∴x₁=4，x₂=6，
當x=4時，CE=4，DE=8，AD=6
∵AD∥CF
∴△ADE∽△FCE，
∴

AD

CF

=

DE

CE

∴CF=3，
∴S_△ADE+S_△CEF=30；
當x=6時，CE=6，DE=6，AD=8
∵AD∥CF
∴△ADE∽△FCE
∴

AD

CF

=

DE

CE

∴CF=8
∴S_△ADE+S_△CEF=48．
綜上所述，S_△ADE+S_△CEF的值是30或48．
故答案為：30或48．