Question

在△ABC，∠BAC為銳角，AB>AC， AD平分∠BAC交BC于點D．
（1）如圖1，若△ABC是等腰直角三角形，直接寫出線段AC，CD，AB之間的數量關系；
（2）BC的垂直平分線交AD延長線于點E，交BC于點F．
①如圖2，若∠ABE=60°，判斷AC，CE，AB之間有怎樣的數量關系并加以證明；
②如圖3，若，求∠BAC的度數．

Answer 1

（1）AB="AC+CD;" （2）①AB=AC+CE，證明見解析;②60°．

試題分析：（1）如圖,過D點作DH⊥AB于點H,則根據角平分線的性質,全等三角形的判定和性質,等腰直角三角形的性質,得AB=AH+HB=AC+DH=AC+CD.

（2）①在線段AB上截取AH=AC，連接EH,證明△EHB是等邊三角形即可得出結論.
②在線段AB上截取AH=AC，連接EH，作EM⊥AB于點M,求得得∠EAB=30°,從而∠BAC=2∠EAB=60°．
試題解析：（1）AB=AC+CD.
（2）①AB=AC+CE，證明如下：
如圖,在線段AB上截取AH=AC，連接EH．
∵AD平分∠BAC，∴．
又∵AE=AE，∴△ACE≌△AHE．∴CE=HE．
∵EF垂直平分BC，∴CE=BE．
又∠ABE=60°，∴△EHB是等邊三角形．
∴BH=HE．∴AB=AH+HB=AC+CE．

②如圖,在線段AB上截取AH=AC，連接EH，作EM⊥AB于點M．
易證△ACE≌△AHE，∴CE=HE．∴△EHB是等腰三角形．∴HM=BM．
∴AC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+MB=2AM．
∵，∴．
在Rt△AEM中，，∴∠EAB=30°．
∴∠BAC=2∠EAB=60°．