Question

【題目】如圖，拋物線的表達式為y=ax2+4ax+4a-1（a≠0），它的圖像的頂點為A，與x軸負半軸相交于點B、點C（點B在點C左側），與y軸交于點D，連接AO交拋物線于點E，且S△AEC:S△CEO=1:3.

（1）求點A的坐標和拋物線表達式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得△BDP的內心也在對稱軸上，若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）連接BD，點Q是y軸左側拋物線上的一點，若以Q為圓心，為半徑的圓與直線BD相切，求點Q的坐標.

Answer 1

【答案】（1）拋物線表達式為y=x2+4x+3 ；（2）P（-2，-3）；（3）Q（-4，3）.

【解析】

（1）根據拋物線的對稱軸易求得頂點坐標，再根據S△AEC:S△CEO=1:3，求得OE：OA=3:4，再證得△OFE∽△OMA，求得點E的坐標，從而求得答案；

（2）根據內心的定義知∠BPM=∠DPM，設點P（-2，b），根據三角函數的定義求得，繼而求得的值，從而求得答案；

（3）設Q（m，m2+4m+3），分類討論，①點Q在BD左上方拋物線上，②點Q在BD下方拋物線上，利用的不同計算方法求得的值，從而求得答案.

（1）由拋物線y=ax2+4ax+4a-1得對稱軸為直線，當時，，

∴ ，

∵S△AEC:S△CEO=1:3 ，

∴AE：OE=1:3 ，

∴OE：OA=3:4，

過點E作EF⊥x軸，垂足為點F，設對稱軸與x軸交點為M，如圖，

∵EF//AM ，

∴△OFE∽△OMA ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

把點代入拋物線表達式y=ax2+4ax+4a-1得

，

解得：a=1，

∴拋物線表達式為：y=x2+4x+3 ；

（2）三角形的內心是三個角平分線的交點，

∴∠BPM=∠DPM，

過點D作DH⊥AM，垂足為點H，設點P（-2，b），

∵tan∠BPM=tan∠DPM ，

∴，

∴，

∴，

∴P（-2，-3），

（3）∵拋物線表達式為：y=x2+4x+3 ，

∴拋物線與軸和軸的交點坐標分別為：B(-3，0) ，C(-1，0) ，D(0，3) ，

∴，

∴

設Q（m，m2+4m+3），

①點Q在BD左上方拋物線上，如圖：作BG⊥x軸交BD于G，QF⊥x軸交于F，作QE⊥BD于E，

設直線QD的解析式為：，

∵點Q的坐標為（m，m2+4m+3）代入得：，

∴直線QD的解析式為：，

當時，，

∴點G的坐標為； ，

∴

，

∵，

∴，

即：，

解得：或(不合題意，舍去) ，

∴點的坐標為：）；

②點Q在BD下方拋物線上，如圖：QF⊥x軸交于F，交BD于G，作QE⊥BD于E，

設直線BD的解析式為：，

將點B(-3，0)代入得：，

∴直線BD的解析式為：，

當時，，

∴點G的坐標為； ，

∴

，

∵，

∴，

即：，

∵

∴方程無解，

綜上：點的坐標為：）.