Question

如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2，AC，BD相交于點O．
（1）求邊AB的長；
（2）如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F，連接EF與AC相交于點G．
①判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由；
②旋轉過程中，當點E為邊BC的四等分點時（BE＞CE），求CG的長．

Answer 1

（1）2      （2）①等邊三角形    ②

試題分析：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴△AOB為直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD=．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
AB===2．
（2）①△AEF是等邊三角形．理由如下：
∵由（1）知，菱形邊長為2，AC=2，
∴△ABC與△ACD均為等邊三角形，
∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE與△ACF中，
∵，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形，
又∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形．
②BC=2，E為四等分點，且BE＞CE，
∴CE=，BE=．
由①知△ABE≌△ACF，
∴CF=BE=．
∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形內角和定理），
∠AEG=∠FCG=60°（等邊三角形內角），
∠EGA=∠CGF（對頂角）
∴∠EAC=∠GFC．
在△CAE與△CFG中，
∵，
∴△CAE∽△CFG（AA），
∴，即，
解得：CG=．
點評：本題是幾何綜合題，綜合考查了相似三角形、全等三角形、四邊形（菱形）、三角形（等邊三角形和等腰三角形）、勾股定理等重要知識點．雖然涉及考點眾多，但本題著重考查基礎知識，難度不大，需要同學們深刻理解教材上的基礎知識，并能夠熟練應用．