Question

【題目】如圖，在△ABC中，BC＝30，高AD＝18，作矩形PQRS，使得P，S分別落在AB，AC邊上，Q，R落在BC邊上．

(1)求證：△APS ∽△ABC；

(2)如果矩形PQRS是正方形，求它的邊長；

(3)如果AP∶PB＝1∶2，求矩形PQRS的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）正方形PQRS的邊長為；（3）S矩形PQRS＝120.

【解析】

（1）由四邊形PQRS是矩形，可得PS∥QR，即可得：△APS∽△ABC；
（2）由矩形PQRS是正方形，可設PS=x，然后利用相似三角形的對應高的比等于相似比，即可得方程解此方程即可求得答案；
（3）由相似三角形對應邊成比例，即可求得PQ與PS的長，繼而可求得矩形PQRS的面積．

(1) 證明：∵四邊形PQRS是矩形，

∴PS∥QR，即PS∥BC，

∴△APS ∽△ABC.

(2)解：∵四邊形PQRS是正方形，

∴PS＝PQ＝SR，PS∥QR.

∵AD是△ABC的高，即AD⊥BC，

∴AM⊥PS，即AM是△APS的高．

∵△APS ∽△ABC，

∴

設PS＝x.

∵BC＝30，AD＝18，

∴AM=18－x，

解得

∴正方形PQRS的邊長為.

(3)解：∵四邊形PQRS是矩形，∴PQ⊥QR.

∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴PQ∥AD，

∴△PBQ∽△ABD，

∴.

∵

∴

∴

∵△APS ∽△ABC，

∴

∴

∴S矩形PQRS