Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，過點B做射線BB1∥AC，動點D從點A出發沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運動，同時動點E從點C出發沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動，過點D作DH⊥AB于H，過點E作EF⊥AC交射線BB1于F，連接DF，設運動的時間為t秒（t＞0）．

（1）當t為________時，AD=AB，此時DE的長度為________；

（2）當△DEF與△ACB全等時，求t的值；

（3）以DH所在直線為對稱軸，線段AC經軸對稱變換后的圖形為A′C′．

①當t＞時，設△ADA′的面積為S，直接寫出S關于t的函數關系式；

②當線段A′C′與射線BB1有公共點時，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2，2；（2）t=6；（3）①S=12t2；② .

【解析】試題分析：(1)、根據Rt△ABC的勾股定理求出AB=10，根據AD=AB得出t的值，根據題意求出CD的長度，然后根據DE=CE-CD求出答案；(2)、首先根據題意得出四邊形BCEF為矩形，分兩種情況：當AD＜AE時求出t的取值范圍，然后根據△ACB和△DEF全等得出t的值；當AD＞AE時求出t的取值范圍，然后根據△ACB和△DEF全等得出t的值；(3)、根據題意得出△ABC和△ADH相似，從而得出AH=3t，DH=4t，從而得出函數解析式；當點A'落在射線BB1上的點B時，AA'=AB=10，根據AA'=2AH=2×5t×cos∠A得出t的值；當點C'落在射線BB1上時，四邊形ACC'B為平行四邊形，根據CC'=2CD×cos∠A求出t的值，從而得出t的取值范圍．

試題解析：解：（1）在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，根據勾股定理得，AB==10，

由運動知，AD=5t， ∵AD=AB， ∴5t=10， ∴t=2，

∴CD=AD﹣AC=10﹣6=4，CE=3t=6， ∴DE=CE﹣CD=2，

(2)、解：∵∠ACB=90°，BB1∥AC，EF⊥AC， ∴四邊形BCEF是矩形，EF=BC=8，

當AD＜AE時，5t＜6+3t， ∴0＜t＜3，

若DE=AC，△ACB≌△DEF，DE=AE﹣AD=6+3t﹣5t=6﹣2t， ∴6﹣2t=6， ∴t=0，

∵t＞0（不合題意，舍），

當AD＞AE時，5t＞6+3t， ∴t＞3，

若DE=AC，△ACB≌△DEF，DE=AD﹣AE=5t﹣6﹣3t=2t﹣6，

∴2t﹣6=6， ∴t=6， ∴當t=6時，△DEF與△ACB全等．

(3)、解：①如圖，

∵∠ACB=∠AHD，∠BAC=∠DAH， ∴△ABC∽△ADH， ∴，

∴， ∴AH=3t，DH=4t， ∴S△ADA'=2S△ADH=2×AH×DH=AH×DH=12t2 ，

②當點A'落在射線BB1上的點B時，AA'=AB=10，

∵DH⊥AB， ∴AA'=2AH=2×5t×cos∠A=6t=10， ∴t=，

當點C'落在射線BB1上時，CC'∥AB， ∵BB1∥AC，∴四邊形ACC'B為平行四邊形，

∴CC'=AB=10， ∵CC'=2CD×cos∠A=2×（5t﹣6）×=（5t﹣6）， ∴t=，

∴≤t≤，線段A'C'與射線BB1有公共點．