Question

【題目】已知：如圖，△ABC是等邊三角形，BD⊥AC，E是BC延長線上的一點，且∠CED=30°．

（1）求證：DB=DE．

（2）在圖中過D作DF⊥BE交BE于F，若CF=3，求△ABC的周長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）48.

【解析】

試題（1）根據等邊三角形的性質得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根據角之間的關系求得∠DBC=∠CED，根據等角對等邊即可得到DB=DE；（2）根據直角三角形中，30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半DC=8，AC=16，即可求得△ABC的周長．

試題解析：

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，

∴∠ABC=∠ACB=60°．

∠DBC=30°（等腰三角形三線合一）．

又∵CE=CD，

∴∠CDE=∠CED．

又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，

∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．

∴∠DBC=∠DEC．

∴DB=DE（等角對等邊）；

（2）解： ∵∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，

∴∠CDF=30°，

∵CF=4，

∴DC=8，

∵AD=CD，

∴AC=16，

∴△ABC的周長=3AC=48．