Question

【題目】已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點E，F，且∠EAF=60°．

（1）如圖1，當點E是線段CB的中點時，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數量關系；

（2）如圖2，當點E是線段CB上任意一點時（點E不與B、C重合），求證：BE=CF；

（3）如圖3，當點E在線段CB的延長線上，且∠EAB=15°時，求點F到BC的距離．

Answer 1

【答案】（1）AE=EF=AF；（2）證明過程見解析；（3）3-

【解析】

試題分析：（1）結論AE=EF=AF．只要證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形；（2）欲證明BE=CF，只要證明△BAE≌△CAF即可；（3）過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H，根據FH=CFcos30°，因為CF=BE，只要求出BE即可解決問題．

試題解析：（1）結論AE=EF=AF．

理由：如圖1中，連接AC， ∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°， ∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，

∴△ABC，△ADC是等邊三角形， ∴∠BAC=∠DAC=60° ∵BE=EC， ∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，

∵∠EAF=60°， ∴∠CAF=∠DAF=30°， ∴AF⊥CD， ∴AE=AF（菱形的高相等），

∴△AEF是等邊三角形， ∴AE=EF=AF．

（2）如圖2中，∵∠BAC=∠EAF=60°， ∴∠BAE=∠CAE，

在△BAE和△CAF中，， ∴△BAE≌△CAF， ∴BE=CF．

（3）過點A作AG⊥BC于點G，過點F作FH⊥EC于點H， ∵∠EAB=15°，∠ABC=60°， ∴∠AEB=45°，

在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4， ∴BG=2，AG=2，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，

∴AG=GE=2， ∴EB=EG﹣BG=2﹣2， ∵△AEB≌△AFC，

∴AE=AF，EB=CF=2﹣2，∠AEB=∠AFC=45°， ∵∠EAF=60°，AE=AF， ∴△AEF是等邊三角形，

∴∠AEF=∠AFE=60° ∵∠AEB=45°，∠AEF=60°， ∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，

在RT△EFH中，∠CEF=15°， ∴∠EFH=75°， ∵∠AFE=60°， ∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，

∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°， 在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2﹣2，

∴FH=CFcos30°=（2﹣2）=3﹣． ∴點F到BC的距離為3﹣．