Question

如圖，已知：△ABC為邊長是4

3

的等邊三角形，四邊形DEFG為邊長是6的正方形．現將等邊△ABC和正方形DEFG按如圖1的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C（E）、F在同一條直線上，△ABC從圖1的位置出發，以每秒1個單位長度的速度沿EF方向向右勻速運動，當點C與點F重合時暫停運動，設△ABC的運動時間為t秒（t≥0）．

（1）在整個運動過程中，設等邊△ABC和正方形DEFG重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數關系式；
（2）如圖2，當點A與點D重合時，作∠ABE的角平分線BM交AE于M點，將△ABM繞點A逆時針旋轉，使邊AB與邊AC重合，得到△ACN．在線段AG上是否存在H點，使得△ANH為等腰三角形．如果存在，請求出線段EH的長度；若不存在，請說明理由．
（3）如圖3，若四邊形DEFG為邊長為4

3

的正方形，△ABC的移動速度為每秒

3

個單位長度，其余條件保持不變．△ABC開始移動的同時，Q點從F點開始，沿折線FG-GD以每秒2

3

個單位長度開始移動，△ABC停止運動時，Q點也停止運動．設在運動過程中，DE交折線BA-AC于P點，則是否存在t的值，使得PC⊥EQ，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況利用三角形的面積公式可以表示出0≤t＜2

3

時重疊部分的面積，當2

3

≤t≤6時用S_△ABC-

(4 3 -t)(4 3 -t)  3

2

就可以求出重疊部分的面積．
（2）當點A與點D重合時，BE=CE=2

3

，再由條件可以求出AN的值，分三種情況討論求出EH的值，①AN=AH=4時，②AN=NH=4時，此時H點在線段AG的延長線上，③AH=NH時，此時H點為線段AG的中垂線與AG的交點，從而可以求出答案．
（3）再運動中當0≤t＜2時，如圖2，△PEC∽△EFQ，可以提出t值；當2≤t≤4時，如圖3，△PEC∽△QDF，可以提出t值．

解答：解：（1）當0≤t＜2

3

時，S=

3

2

t2
當2

3

≤t≤6時，S=-

3

2

t2+12t-12

3

．
（2）當點A與點D重合時，BE=CE=2

3

，
∵BM平分∠ABE，
∴∠MBE=

1

2

∠ABE=30°
∴ME=2，
∵∠ABM=∠BAM，
∴AM=BM=4，
∵△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=30°，AN=4
①AN=AH=4時，EH=

AE2+AH2

=2

13

，
②AN=NH=4時，此時H點在線段AG的延長線上，∴舍去，
③AH=NH時，此時H點為線段AN的中垂線與AG的交點，如圖1，
∴AK=

1

2

AN=2，AH=

AK

cos∠HAK

=

4

3

3

∴EH=

AE2+AH2

=

2

3

93

．
（3）當0≤t＜2時，如圖2，△PEC∽△EFQ，
∴

PE

EF

=

EC

QF

，
∴

3t

4 3

=

3 t

2 3 t

，
∴t=

2

3

3

；
當2≤t≤4時，如圖3，△PEC∽△QDE，
∴

PE

DQ

=

EC

DE

，
∴

12-3t

8 3 -2 3 t

=

3 t

4 3

，
∴

3

t2-(6+4

3

)t+24=0
∴(

3

t-6)(t-4)=0，
∴t₁=4，t2=2

3

．

點評：本題考查了求函數的解析式，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質，勾股定理的運用．