Question

【題目】如圖，以O為圓心的弧BD度數為60°，∠BOE=45°，DA⊥OB，EB⊥OB．

（1）求的值；

（2）若OE與弧BD交于點M，OC平分∠BOE，連接CM．說明CM為⊙O的切線；（3）在（2）的條件下，若BC=1，求tan∠BCO的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）+1．

【解析】分析：(1)、求出OB=BE，在Rt△OAD中，sin∠AOD=，代入求出即可；(2)、求出∠BOC=∠MOC，證△BOC≌△MOC，推出∠CMO=∠OBC=90°，根據切線的判定推出即可；(3)、求出CM=ME，MC=BC，求出BC=MC=ME=1，在Rt△MCE中，根據勾股定理求出CE=，求出OB=+1，解直角三角形得出tan∠BCO=+1，即可得出答案．

詳解：（1）∵EB⊥OB，∠BOE=45°，∴∠E=45°，∴∠E=∠BOE，∴OB=BE，
在Rt△OAD中，sin∠AOD=，∵OD=OB=BE，∴；
（2）∵OC平分∠BOC，∴∠BOC=∠MOC，
在△BOC和△MOC中，OB=OM，∠BCO=∠MOC，OC=OC，∴△BOC≌△MOC（SAS），
∴∠CMO=∠OBC=90°，又∵CM過半徑OM的外端，∴CM為⊙O的切線；
（3）由（1）（2）證明知∠E=45°，OB=BE，△BOC≌△MOC，CM⊥ME，
∵CM⊥OE，∠E=45°，∴∠MCE=∠E=45°，∴CM=ME，又∵△BOC≌△MOC，∴MC=BC，

∴BC=MC=ME=1，∵MC=ME=1，∴在Rt△MCE中，根據勾股定理，得CE=，
∴OB=BE=+1，∵tan∠BCO=，OB=+1，BC=1，∴tan∠BCO=+1．