Question

【題目】學校數學興趣小組利用機器人開展數學活動．在相距個單位長度的直線跑道上，機器人甲從端點出發，勻速往返于端點、之間，機器人乙同時從端點出發，以大于甲的速度勻速往返于端點、之間．他們到達端點后立即轉身折返，用時忽略不計．興趣小組成員探究這兩個機器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對面相遇、在端點處相遇這兩種．

（觀察）

①觀察圖，若這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點之間的距離為個單位長度，則他們第二次迎面相遇時，相遇地點與點之間的距離為 _____個單位長度；

②若這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點之間的距離為個單位長度，則他們第二次迎面相遇時，相遇地點與點之間的距離為 _____個單位長度；

（發現）

設這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點之間的距離為個單位長度，他們第二次迎面相遇時，相遇地點與點之間的距離為個單位長度．興趣小組成員發現了與的函數關系，并畫出了部分函數圖象（線段，不包括點，如圖所示）．

①＝ _____；

②分別求出各部分圖象對應的函數表達式，并在圖中補全函數圖象；

（拓展）

設這兩個機器人第一次迎面相遇時，相遇地點與點之間的距離為個單位長度，他們第三次迎面相遇時，相遇地點與點之間的距離為個單位長度．若這兩個機器人第三次迎面相遇時，相遇地點與點之間的距離不超過個單位長度，則他們第一次迎面相遇時，相遇地點與點之間的距離的取值范圍是 _____．（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】【觀察】：①；②；【發現】：①；②見解析；【拓展】：0＜x≤12或48≤x≤72．

【解析】

[觀察]①設此時相遇點距點A為m個單位，根據題意列方程即可得到結論；

②此時相遇點距點A為m個單位，根據題意列方程即可得到結論；

[發現]①當點第二次相遇地點剛好在點B時，設機器人甲的速度為v，則機器人乙的速度為，根據題意列方程即可得到結論；

②設機器人甲的速度為v，則機器人乙的速度為，根據題意列函數解析式即可得到結論；

[拓展]由題意列不等式即可得到結論．

[觀察]①∵相遇地點與點之間的距離為個單位長度，

∴相遇地點與點之間的距離為個單位長度，

設機器人甲的速度為，

∴機器人乙的速度為，

∴機器人甲從相遇點到點B所用的時間為，

機器人乙從相遇地點到點再返回到點所用時間為，而，

∴設機器人甲與機器人乙第二次迎面相遇時，

機器人乙從第一次相遇地點到點，返回到點，再返回向時和機器人甲第二次迎面相遇，

設此時相遇點距點為個單位，

根據題意得，，

，

故答案為：；

②∵相遇地點與點之間的距離為個單位長度，

∴相遇地點與點之間的距離為個單位長度，

設機器人甲的速度為，

∴機器人乙的速度為，

∴機器人乙從相遇點到點再到點所用的時間為，

機器人甲從相遇點到點所用時間為，而，

∴設機器人甲與機器人乙第二次迎面相遇時，機器人從第一次相遇點到點，再到點，返回時和機器人乙第二次迎面相遇，

設此時相遇點距點為個單位，

根據題意得，，

，

故答案為：；

[發現]①當點第二次相遇地點剛好在點時，

設機器人甲的速度為，則機器人乙的速度為，

根據題意知，，

，

經檢驗：是分式方程的根，

即：，

故答案為：；

②當時，點在線段上，

∴線段的表達式為，

當時，即當，此時，第二次相遇地點是機器人甲在到點返回向點時，

設機器人甲的速度為，則機器人乙的速度為，

根據題意知，，

，

即：，

補全圖形如圖2所示，

[拓展]①如圖，

由題意知，，

∴y=5x，

∵0＜y≤60，

∴0＜x≤12；

②如圖，

∴，

∴y=-5x+300，

∵0≤y≤60，

∴48≤x≤60，

③如圖，

由題意得，，

∴y=5x-300，

∵0≤y≤60，

∴60≤x≤72，

∵0＜x＜75，

∴48≤x＜72，

綜上所述，相遇地點與點A之間的距離x的取值范圍是0＜x≤12或48≤x≤72，

故答案為0＜x≤12或48≤x≤72．