Question

【題目】已知如圖,在△ABC中,以AB、AC為直角邊, 分別向外作等腰直角三角形ABE、ACF,連結EF,過點A作AD⊥BC,垂足為D,反向延長DA交EF于點M.

(1)用圓規比較EM與FM的大小.

(2)你能說明由(1)中所得結論的道理嗎?

Answer 1

【答案】(1)EM=FM；（2）證明見解析.

【解析】

(1)直接用圓規比較兩線段的大小；（2）作EH⊥AM,垂足為H,FK⊥AM,垂足為K.先說明Rt△EHA≌Rt△ADB, 得EH=AD,Rt△FKA≌Rt△ADC, 得FK=AD,得EH=FK,在Rt△EHK與Rt△FKM中,Rt△EHM≌Rt△FKM,得EM=FM.

解：(1)EM=FM

(2)作EH⊥AM,垂足為H,FK⊥AM,垂足為K,則∠AHE=90,∠AKF=90,

因為，AD⊥BC,

所以，∠ADB=90,

所以，∠ABD+∠BAD=90,

又因為，△ABE是等腰直角三角形，

所以，AE=AB,∠BAE=90,

所以，∠EAH+∠BAD=90,

所以，∠EAH=∠ABD，

所以，Rt△EHA≌Rt△ADB（AAS），

所以，EH=AD，

同理：

Rt△FKA≌Rt△ADC， FK=AD，

所以EH=FK

在Rt△EHK與Rt△FKM中,

所以，Rt△EHM≌Rt△FKM（AAS）

得EM=FM.