Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D，點P從點D出發，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到C時，兩點都停止．設運動時間為t秒．

(1)求線段CD的長；

(2)當△CPQ與△BDC相似時，求t值；

(3) 設△CPQ的面積為y，求y與t的函數關系式，并判斷△PCQ的面積是否有最大值還是最小值？若有，求出t為何值時y的最值，若沒有，則說明理由．

Answer 1

【答案】(1)線段CD的長為4.8；(2)當t為3或 時，△CPQ與△△ABC相似；(3) 當t=時，S最大=．

【解析】

（1）先根據勾股定理求出AB的長，再由三角形的面積公式即可得出結論；

（2）先用t表示出DP，CQ，CP的長，再分PQ⊥CD與PQ⊥AC兩種情況進行討論；

（3）結論：△PCQ的面積是否有最大值；過點P作PH⊥AC，垂足為H，通過三角形相似即可用t的代數式表示PH，從而可以求出S與t之間的函數關系式；即可解決問題；

（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10．

∵CD⊥AB，

∴S△ABC=BCAC=ABCD．

∴．

∴線段CD的長為4.8．

（2）由題可知有兩種情形，

設DP=t，CQ=t．則CP=4.8-t．

①當PQ⊥CD時，如圖a

∵△QCP∽△ABC，△ABC∽CBD，

∴△QCP∽△CBA，

∴，即 ，

∴t=3；

②當PQ⊥AC，如圖b．

∵△PCQ∽△ABC

∴ ，即 ，解得t=，

∴當t為3或時，△CPQ與△△ABC相似；

（3）結論：△PCQ的面積有最大．

理由：過點P作PH⊥AC，垂足為H，如圖所示．

由題可知DP=t，CQ=t．

則CP=4.8-t．

∵∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠HCP=90°-∠DCB=∠B．

∵PH⊥AC，

∴∠CHP=90°．

∴∠CHP=∠ACB．

∴△CHP∽△BCA．

∴，

∴，

∴．

∴S=S△CPQ

=；

∵-＜0，

∴S有最大值，

∴當t=時，S最大=．