Question

【題目】如圖，將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的一點H重合（H不與端點C，D重合），折痕交AD于點E，交BC于點F，邊AB折疊后與邊BC交于點G，如果正方形ABCD的邊長為1，則△CHG的周長為__________

Answer 1

【答案】2

【解析】分析：設CH=x，DE=y，則DH=1-x，EH=1-y，然后利用正方形的性質和折疊可以證明△DEH∽△CHG，利用相似三角形的對應邊成比例可以把CG，HG分別用x，y分別表示，△CHG的周長也用x，y表示，然后在Rt△DEH中根據勾股定理可以得到2x-x2=2y，進而求出△CHG的周長．

詳解：設CH=x，DE=y，則DH=1-x，EH=1-y，

∵∠EHG=90°，

∴∠DHE+∠CHG=90°．

∵∠DHE+∠DEH=90°，

∴∠DEH=∠CHG，

又∵∠D=∠C=90°，

∴△DEH∽△CHG，

∴CG：DH=CH：DE=HG：EH，即CG:(1x)=x:y=HG:(1y)，

∴CG=，HG=，

∴△CMG的周長為=CH+CG+HG=，

在Rt△DEH中，DH2+DE2=EH2,

即（1-x）2+y2=（1-y）2,

整理得2x-x2=2y，

∴CH+HG+CG=．

故答案為：2．