Question

【題目】如圖，四邊形 ABCD 中，AE，DF 分別是∠BAD，∠ADC 的平分線，且 AE⊥DF 于點 O ． 延長 DF 交 AB 的延長線于點 M ．

（1）求證：AB∥DC ；

（2）若∠MBC=120°，∠BAD=108°，求∠C，∠DFE 的度數．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）∠C＝120°，∠DFE＝24°

【解析】

（1）根據角平分線的定義可得∠DAB＝2∠EAB，∠ADC＝2∠ADF，根據垂直的定義可得∠AOD＝90°，即∠DAE+∠ADF＝90°，從而可得∠BAD+∠ADC＝2（∠DAE+∠ADF）＝180°，即可得證；

（2）由AB∥DC可得∠C＝∠MBC，從而得出∠ADC＝72°，再根據角平分線的定義以及三角形內角和公式解答即可．

解：（1）證明：∵AE，DF分別是∠BAD，∠ADC的平分線，

∴∠DAB＝2∠EAB，∠ADC＝2∠ADF，

∵AE⊥DF，

∴∠AOD＝90°．

∴∠DAE+∠ADF＝90°，

∴∠BAD+∠ADC＝2（∠DAE+∠ADF）＝180°，

∴AB∥DC；

（2）∵AB∥DC，

∴∠C＝∠MBC．

∵∠MBC＝120°，

∴∠C＝120°，

∵∠BAD＝108°，

∴∠ADC＝72°，

∴，

∴∠DFE＝180°﹣（∠C+∠CDF）＝24°．