Question

【題目】已知，如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x≤8），點E在邊CD上，且CE＝CB，以AE為對角線作正方形AGEF．設正方形AGEF的面積y．

（1）當點F在矩形ABCD的邊上時，x＝　 　．

（2）求y與x的函數關系式及y的取值范圍．

（3）當矩形ABCD的一條邊將正方形AGEF的面積分為1：3兩部分時，直接寫出x的值．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）y=x2﹣8x+32＝（x﹣4）2+16，16≤y≤32；（3）滿足條件的x的值為2或6．

【解析】

（1）點F在矩形ABCD的邊上時，AF＝EF＝FG＝BC，利用正方形的性質解決問題即可．

（2）根據y＝AE2＝（AD2+DE2），計算即可．

（3）分兩種情形：①如圖1中，設CD交AG于Q，當AQ＝GQ時，長方形ABCD的邊CD將正方形AFEG的面積分成1：3兩部分．②如圖2中，設AD交EG于Q，當GQ＝EG時，長方形ABCD的邊AD將正方形AFEG的面積分成1：3兩部分．

解：（1）點F在矩形ABCD的邊上時，AF＝EF＝FG＝BC，

∵EC＝BC，

∴AF＝FB＝4，

∴BC＝EC＝BF＝4，

故答案為4．

（2）y＝AE2＝（AD2+DE2）＝ [x2+（8﹣x）2]＝x2﹣8x+32＝（x﹣4）2+16．

∵0＜x≤8，

∴16≤y≤32．

（3）①如圖1中，設CD交AG于Q，當AQ＝GQ時，長方形ABCD的邊CD將正方形AFEG的面積分成1：3兩部分．

則∵tan∠QEG＝tan∠QAD，

∴＝＝，

∵AD＝BC＝x，

∴DQ＝x，AQ＝GQ＝xEG＝x，

∴EQ＝x，

∵DQ+QE+CE＝8，

∴x+x+x＝8，

∴x＝2．

②如圖2中，設AD交EG于Q，當GQ＝EG時，長方形ABCD的邊AD將正方形AFEG的面積分成1：3兩部分．

設DQ＝m，同法可得DE＝2m，QE＝GQ＝m，AQ＝5m，

∴6m＝x，

∴DE＝，

∵DE+CE＝8，

∴x+x＝8，

∴x＝6，

∴滿足條件的x的值為2或6．