Question

（2004•哈爾濱）已知：拋物線y=-x²-（m+3）x+m²-12與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，且x₁＜0，x₂＞0，拋物線與y軸交于點C，OB=2OA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸上，點A的左側，求一點E，使△ECO與△CAO相似，并說明直線EC經過（1）中拋物線的頂點D；
（3）過（2）中的點E的直線y=x+b與（1）中的拋物線相交于M、N兩點，分別過M、N作x軸的垂線，垂足為M′、N′，點P為線段MN上一點，點P的橫坐標為t，過點P作平行于y軸的直線交（1）中所求拋物線于點Q．是否存在t值，使S_梯形MM'N'N：S_△QMN=35：12？若存在，求出滿足條件的t值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可設出A、B的坐標，然后用韋達定理表示出兩點橫坐標的和與積，然后根據OB=2OA，即B點的橫坐標為A點橫坐標的2倍聯立三式可得出m的值．即可求出拋物線的解析式；
（2）根據△ECO與△CAO相似，可通過相似三角形的對應邊成比例線段求出OE的長，即可得出E點的坐標，進而可求出過E點直線的解析式，然后將拋物線頂點代入直線的解析式中進行判斷即可；
（3）過M、N分別作直線PQ的垂線后可發現，三角形QMN可以以QP為底，以M、N兩點的橫坐標差為高來求得其面積，而梯形的面積可以以M、N兩點的縱坐標的和與兩點橫坐標的差為高來求，因此三角形QMN和梯形的面積比實際是QM和M、N兩點的縱坐標的比．可聯立直線MN與拋物線的解析式求出M、N兩點縱坐標的和，然后將t代入拋物線和直線MN的解析式中求出QP的表達式，根據題中給出的兩個圖形的面積比即可求得t的值．
解答：解：（1）∵x₁＜0，x₂＞0．
∴OA=x₁，OB=x₂
∵x₁，x₂是方程-x²-（m+3）x+m²-12=0的兩個實數根
∴x₁+x₂=-2（m+3）①，x₁•x₂=-2（m²-12）②x₂=-2x₁③
聯立①，②，③整理得：m²+8m+16=0，
解得m=-4．
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+4；

（2）設點E（x，0），則OE=-x．
∵△ECO與△CAO相似，
∴，，x=-8
∴點E（-8，0）
設過E、C兩點的直線解析式為y=k′x+b′，
則有：，
解得
∴直線EC的解析式為y=x+4．
∵拋物線的頂點D（1，），當x=1時，y=
∴點D在直線EC上；

（3）存在t值，使S_梯形MM'N'N：S_△QMN=35：12．
∵E（-8，0），
∴×（-8）+b=0，
∴b=2，y=x+2．
∴x=4（y-2）．
∴y=-[4（y-2）²+4（y-2）+4]，
整理得8y²-35y+6=0，
設M（x_m，y_m）．
∴MM′=y_m，NN′=y_n，
∴y_m，y_n是方程8y²-35y+6=0的兩個實數根，y_m+y_n=
∴S_梯形=（y_m+y_n）（x_n-x_m）
∵點P在直線y=x+2上，點Q在（1）中拋物線上，
∴點P（t，t+2）、點Q（t，-t²+t+4）
∴PQ=-t²+t+4-t-2=-t²-t+2，
分別過M、N作直線PQ的垂線，垂足為G、H，則GM=t-x_m，NH=x_n-t
∴S_△QMN=S_△QMP+S_△QNP=PQ（x_n-x_m）
∵S_梯形MM'N'N：S_△QMN=35：12，
∴=，
整理得：2t²-3t-2=0，
解得t=-，t=2．
因此當t=-或t=2時，S_梯形MM'N'N：S_△QMN=35：12．
點評：本題為二次函數綜合題，考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法、函數圖象交點等知識點，難度較大．