Question

23、如圖所示，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于點F，連接BF．
（1）求證：AF=BD；
（2）如果AB=AC，試證明：四邊形AFBD為矩形．

Answer 1

分析：（1）由于E是AD中點，則AE=DE，而AF∥BC，那么∠FAE=∠CDE，又∠AEF=∠DEC，利用ASA可證△AFE≌△DCE，于是有AF=CD，又AD是中線，則BD=CD，等量代換有AF=BD；
（2）由（1）知AF平行等于BD，易證四邊形AFBD是平行四邊形，而AB=AC，AD是中線，利用等腰三角形三線合一定理，可證AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可證四邊形AFBD是矩形．

解答：（1）證明：∵點E是AD的中點，
∴AE=DE，（1分）
又∵AF∥BD，
∴∠FAE=∠CDE，（2分）
又∵∠FEA=∠CED，
∴△AFE≌△DCE，（3分）
∴AF=CD，
又∵AD是BC邊上的中線，
∴BD=CD，（4分）
∴AF=BD；（5分）

（2）∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，（6分）
又∵AF∥BD，AF=BD，
∴四邊形AFBD為平行四邊形，（7分）
∴四邊形AFBD為矩形．（8分）

點評：本題利用了中點定義、平行線的性質、等量代換、全等三角形的判定和性質、等腰三角形三線合一定理、平行四邊形的判定、矩形的判定．