Question

【題目】某工廠設門市部專賣某產品，該每件成本每件成本30元，從開業一段時間的每天銷售統計中，隨機抽取一部分情況如下表所示：

銷售單位（元）	50	60	70	75	80	85	…
日銷售量	300	240	180	150	120	90	…

假設每天定的銷價是不變的，且每天銷售情況均服從這種規律．
（1）秋日銷售量與銷售價格之間滿足的函數關系式；
（2）門市部原設定兩名銷售員，擔當銷售量較大時，在每天售出量超過198件時，則必須增派一名營業員才能保證營業有序進行．設營業員每人每天工資為40元，求每件產品應定價多少元，才能使每天門市部純利潤最大？（純利潤=總銷售﹣成本﹣營業員工資）

Answer 1

【答案】
（1）解：經過圖表數據分析，日銷售量與銷售價格之間的函數關系為一次函數，

設y=kx+b，經過（50，300）、（60，240），

代入函數關系式得， ，

解得：k=﹣6，b=600，

故y=﹣6x+600；

（2）解：設每件產品應定價x元，利潤為W，

當日銷售量y≤198時，﹣6x+600≤198，

解得：x≥67，

由題意得，W=（x﹣30）×（﹣6x+600）﹣2×40

=﹣6x2+780x﹣18080

=﹣6（x﹣65）2+7270

∵x≥67，

∴x取67時，W取得最大，W最大=7246元；

當日銷售量y＞198時，﹣6x+600＞198，

解得：x＜67，

由題意得，W=（x﹣30）×（﹣6x+600）﹣3×40

=﹣6x2+780x﹣18120

=﹣6（x﹣65）2+7230

∵30＜x＜67，

∴x取65時，W取得最大，W最大=7230元；

綜上可得：當每件產品應定價67元，才能使每天門市部純利潤最大

【解析】（1）觀察表中數據，可知日銷售量與銷售價格之間的函數關系為一次函數，易求出函數解析式。
（2）總利潤=每件的利潤售出的數量-工資。先設未知數，分段建立函數關系式，求出頂點坐標，再根據根據題意，求出自變量的取值范圍，即可求解。
【考點精析】通過靈活運用確定一次函數的表達式和二次函數的最值，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此題．