Question

【題目】為方便市民低碳生活綠色出行，市政府計劃改造如圖所示的人行天橋：天橋的高是10米，原坡面傾斜角∠CAB=45°．

（1）若新坡面傾斜角∠CDB=28°，則新坡面的長CD長是多少？（精確到0.1米）
（2）若新坡角頂點D前留3米的人行道，要使離原坡角頂點A處10米的建筑物不拆除，新坡面的傾斜角∠CDB度數的最小值是多少？（精確到1°）

Answer 1

【答案】
（1）解：在Rt△BCD中，

∵BC=10，∠CDB=28°，

∴CD= = ≈21.3（米），

答：新坡面的長為21.3米

（2）解：∵∠CAB=45°，

∴AB=CB=10，

又建筑物離原坡角頂點A處10米，即建筑物離天橋底點B的距離為20米，

當DB取最大值時，∠CDB達最小值，

要使建筑物不被拆掉DB的最大值為20﹣3=17，

則tan∠CDB= = ≈0.588，

∴∠CDB≈31°．

答：若新坡角頂點D前留3米的人行道，要使離原坡角頂點A處10米的建筑物不拆除，新坡面的傾斜角的最小值是31°

【解析】（1）在Rt△BCD中，已知BC、∠CDB的度數，利用解直角三角形就可以求出CD的長。
（2）已知建筑物距A10米，由已知可證得△ACB是等腰直角三角形，得出AB=10,由此可求得DB的最大值，當DB取最大值時，∠CDB達最小值，然后在Rt△DBC中利用解直角三角形就可以求出∠CDB的度數。
【考點精析】本題主要考查了解直角三角形和關于坡度坡角問題的相關知識點，需要掌握解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)；坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(坡比)．用字母i表示，即i=h/l．把坡面與水平面的夾角記作A(叫做坡角)，那么i=h/l=tanA才能正確解答此題．