Question

【題目】（新洲區月考）如圖1，AB為半圓O的直徑，C為圓弧上一點，過點C的直線與AB的延長線交于點E，AD⊥CE于點D，AC平分∠DAB.

（1）求證：CE是⊙O的切線.

（2）若AB＝6，B為OE的中點，CF⊥AB，垂足為點F，求CF的長；

（3）如圖2，連接OD交AC于點G，若，求sinE的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接OC，由AC為角平分線得到一對角相等，再由等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，進而得到OC與AD平行，由AD與CE垂直，得到OC與CE垂直，即可得證；

（2）由OB＝BE，根據半徑OA的長求出OE的長，在直角三角形OCE中，根據OCOE得到∠E＝30°，在直角三角形CEF中，利用30°所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出CF的長；

（3）連接OC，由（1）得到OC與AD平行，進而得到三角形OCG與三角形ADG相似，三角形OCE與三角形ADE相似，由相似得比例求出的值，即可確定出sinE的值．

（1）連接OC，

∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC＝∠CAO，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠ACO，

∵∠DAC＝∠ACO，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CE，

∴OC⊥CE，

∴CE為⊙O的切線；

（2）∵AB＝6，OB＝BE，

∴OE＝6，

在Rt△OCE中，

∵OC＝3，OE＝6，

∴∠E＝30°，

∴CE＝3，

∴在Rt△CFE中，CF；

（3）連接OC，

由（1）得OC∥AD，

∴△COG∽△ADG，△COE∽△DAE，

∴，，

∴，

∴，

又∵AO＝CO，

∴，

在Rt△OCE中，sinE．