Question

（2012•朝陽）如圖，在正方形ABCD內有一折線段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=4，EF=8，FC=12，則正方形與其外接圓形成的陰影部分的面積為

80π-160

．

Answer 1

分析：首先連接AC，則可證得△AEM∽△CFM，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得EM與FM的長，然后由勾股定理求得AM與CM的長，則可求得正方形與圓的面積，則問題得解．

解答：解：連接AC，
∵AE丄EF，EF丄FC，
∴∠E=∠F=90°，
∵∠AME=∠CMF（對頂角相等），
∴△AEM∽△CFM，
∴

AE

CF

=

EM

FM

，
∵AE=4，FC=12，
∴

EM

FM

=

1

3

，
∴EM=2，FM=6，
在Rt△AEM中，AM=

AE2 +EM2

=2

5

，
在Rt△FCM中，CM=

CF2  +FM2

=6

5

，
∴AC=8

5

，
在Rt△ABC中，AB=AC•sin45°=8

5

×

2

2

=4

10

，
∴S_{正方形ABCD}=AB²=160，
圓的面積為：π•（

8 5

2

）²=80π，
∴正方形與其外接圓之間形成的陰影部分的面積為80π-160．
故答案為：80π-160．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，正方形與圓的面積的求解方法，以及勾股定理的應用．此題綜合性較強，解題時要注意數形結合思想的應用．