Question

△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在邊AB上，AD＝AC＝7，BD＝BC．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)M、N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
⑴ 求cosA的值．
⑵ 當(dāng)以MN為直徑的圓與△ABC一邊相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

（1）；（2）t＝1或t＝2．

試題分析：（1）設(shè)BC＝4m，AC＝x，用m表示出AC和AB，根據(jù)三角函數(shù)定義即可求解.
（2）分⊙O與AB相切，⊙O與AC相切和⊙O與BC相切三種情況討論即可.
（1）設(shè)BC＝4m，AC＝x，則BD＝2m，AD＝x，
∵，∴　16＋＝. 解之得　x＝3m.
從而AB＝5m.
因此cosA＝.
（2）CM＝t，AM＝7－t，DN＝2t，AN＝7－2t，其中0≤t≤3.5，
記以MN為直徑的圓為⊙O，當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)，則MN⊥AB，
因此，t＝2，符合題意；
當(dāng)⊙O與AC相切時(shí)，則MN⊥AC，因此，t＝－14，舍去；
當(dāng)⊙O與BC相切時(shí)，如圖，作NE⊥BC，垂足為E．取EC的中點(diǎn)F，連結(jié)OF，則OF⊥BC，即點(diǎn)F為⊙O與BC相切的切點(diǎn)．連結(jié)MF，NF，則FM⊥FN，因此△FCM∽△NEF．
因此CM·EN＝.
而CM＝t，EN＝，EF＝FC＝EC＝，
因此，整理得，解之得　t＝1，t＝－14（舍去） .
綜上所得，當(dāng)以MN為直徑的圓與△ABC一邊相切時(shí)，t＝1或t＝2．