Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為4，A、B、C均是⊙O的點，點D是∠BAC的平分線與⊙O的交點，若∠BAC=120°，則弦BD的長為 _____________ ．

Answer 1

【答案】4

【解析】

連結BC、OB、OC，延長DO交BC與H，利用角平分線定義得∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°，則根據圓周角定理得到∠DBC=∠BCD=60°，于是可判斷△BCD為等邊三角形，所以BD=BC，∠BDC=60°；再利用∠ABD=∠CAD得到弧DC=弧DB，根據垂徑定理的推論得到DH⊥BC，BH=CH，接著根據圓周角定理計算出∠BOH=60°，然后在Rt△BOH中根據含30度的直角三角形三邊的關系可計算出BH=2，則BC=2BH=4，即BD=．

解：連結BC、OB、OC，延長DO交BC與H，如圖，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠DBC=∠BCD=60°，
∴△BCD為等邊三角形，
∴BD=BC，∠BDC=60°，
∵∠ABD=∠CAD，
∴弧DC=弧DB，
∴DH⊥BC，
∴BH=CH，∠BOH=∠BOC，
而∠BOC=2∠BDC=120°，
∴∠BOH=60°，
在Rt△BOH中，∵∠OBH=30°，
∴OH=OB=2，
∴BH=OH=，
∴BC=2BH=，
∴BD=．
故答案為：．