Question

（2003•南京）如圖，直線y=-x+4與x軸、y軸分別交于點M、N．
（1）求M、N兩點的坐標；
（2）如果點P在坐標軸上，以點P為圓心，為半徑的圓與直線y=-x+4相切，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：第一問簡單，已知直線解析式，易求M，N點坐標；
由題意知點P在坐標軸上，說的很模糊，所以要分類討論，再根據圓的性質及相切的條件，又知道圓的半徑，從而求出每種情況的P點坐標．
解答：解：（1）當x=0時，y=4，
當y=0時，-x+4=0∴x=3．
∴M（3，0），N（0，4）．

（2）①當P₁點在y軸上，并且在N點的下方時，設⊙P₁與直線y=-x+4相切于點A，
連接P₁A，則P₁A⊥MN，∴∠P₁AN=∠MON=90°．
∵∠P₁NA=∠MNO，
∴△P₁AN∽△MON，∴
在Rt△OMN中，OM=3，ON=4，∴MN=5．
又∵，∴P₁N=4，
∴P₁點坐標是（0，0）；
②當P₂點在x軸上，并且在M點的左側時，同理可得P₂點坐標是（0，0）；
③當P₃點在x軸上，并且在M點的右側時，設⊙P₃與直線y=-x+4上切于點B，連接P₃B．
則P₃B⊥MN，∴OA∥P₃B．
∵OA=P₃B，∴P₃M=OM=3，∴OP₃=6．
∴P₃點坐標是（6，0）；
④當P₄點在y軸上，并且在點N上方時，同理可得P₄N=ON=4．
∴OP₄=8，∴P₄點坐標是（0，8）；
綜上，P點坐標是（0，0），（6，0），（0，8）．
點評：此題考查一次函數的基本性質及圓的性質，把直線與圓連接起來，不免有相切的關系，還考查相似三角形的性質及分類討論的思想．