Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點(diǎn)，且x1＜x2，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣4），其中x1，x2是方程x2﹣4x﹣12=0的兩個根．

（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）求拋物線的解析式；

（3）點(diǎn)M是線段AB上的一個動點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)M作MN∥BC，交AC于點(diǎn)N，連接CM，在M點(diǎn)運(yùn)動時，△CMN的面積是否存在最大值？若存在，求出△CMN面積最大時點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，0），B（6，0）．（2）y=x2﹣x﹣4．（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）．

【解析】

(1)通過解方程能求出兩根,再根據(jù)題干給出的大小關(guān)系確定A、B點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)已知A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可確定該函數(shù)的解析式.
(3)首先設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo),然后表示出AM的長;已知MN//BC,利用相似三角形三角形AMN、三角形ABC求出三角形AMN的面積表達(dá)式;以AM為底、OC為高易得三角形ACM的面積, 三角形ACM、三角形AMN的面積差即為三角形MNC的面積,再根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)來判斷三角形MNC是否具有最大面積.

解：（1）∵x2﹣4x﹣12=0，

∴x1=﹣2，x2=6．

即：A（﹣2，0），B（6，0）．

（2）∵拋物線過點(diǎn)A、B、C，

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x﹣6），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，得：

﹣4=a（0+2）（0﹣6），

解得a=．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣4．

（3）存在．

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），過點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），

∴AB=8，AM=m+2．

∵M(jìn)N∥BC，∴△AMN∽△ABC．

∴=，∴=，

∴NH=

∴S△CMN

=S△ACM﹣S△AMN

=AMCO﹣AMNH

=（m+2）（4﹣）

=﹣m2+m+3

=﹣（m﹣2）2+4．

∴當(dāng)m=2時，S△CMN有最大值4．

此時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）．