Question

如圖，已知拋物線（b是實數且b>2）與x軸的正半軸分別交于點A、B（點A位于點B的左側），與y軸的正半軸交于點C．

（1）點B的坐標為      ，點C的坐標為      （用含b的代數式表示）；
（2）若b=8，請你在拋物線上找點P，使得△PAC是直角三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由；
（3）請你探索，在（1）的結論下，在第一象限內是否存在點Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）B（b，0），C（0，）；
（2）當∠CAP=90°時，P（10，4.5）；當∠ACP=90°時，P（11，7.5）
（3）（1，4），

試題分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程即可求出A，B橫坐標，令x=0，求出y的值即C的縱坐標；
（2）先求出b=8時點B、點C的坐標，再分∠PAC=90°與∠PCA=90°兩種情況分析即可；
（3）存在，假設存在這樣的點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似，有條件可知：要使△QOA與△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x軸；要使△QOA與△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分別討論求出滿足題意Q的坐標即可．
（1）在中，當y=0時，x=1或b，
∵b是實數且b＞2，點A位于點B的左側，
∴點B的坐標為（b，0），
當x=0時，y=
∴點C的坐標為（0，）；
當b=8時點B、點C的坐標分別為B（8，0），C（0，2），二次函數關系式為
設直線AC的解析式為
∵圖象過點A（1，0），C（0，2）
∴，解得
∴直線AC的解析式為
當∠CAP=90°時，設直線AP的解析式為
∵圖象過點A（1，0）
∴，
∴直線AP的解析式為
聯立與解得，即此時點P坐標為（10，4.5）；
當∠ACP=90°時，設直線AP的解析式為
∵圖象過點C（0，2）
∴直線AP的解析式為
聯立與解得，即此時點P坐標為（11，7.5）；
（3）假設存在這樣的點Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似．
∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，
∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．
∴要使△QOA與△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x軸．
∵b＞2，
∴AB＞OA，
∴∠Q0A＞∠ABQ．
∴只能∠AOQ=∠AQB．此時∠OQB=90°，
由QA⊥x軸知QA∥y軸．
∴∠COQ=∠OQA．
∴要使△QOA與△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．
（I）當∠OCQ=90°時，△CQO≌△QOA．
∴AQ=CO=．
由AQ²=OA•AB得：（）²=b-1．
解得：b=8±4．
∵b＞2，
∴b=8+4．
∴點Q的坐標是（1，2+）．
（II）當∠OQC=90°時，△OCQ∽△QOA，
∴，即OQ²=OC•AQ．
又OQ²=OA•OB，
∴OC•AQ=OA•OB．即•AQ=1×b．
解得：AQ=4，此時b=17＞2符合題意，
∴點Q的坐標是（1，4）．
∴綜上可知，存在點Q（1，2+）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意兩個三角形均相似．
點評：二次函數的綜合題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.