Question

“5.12”汶川大地震三周年，災區人民的生活牽掛著全國人民的心，湖北省A、B兩市響應黨中央號召，對口援建C、D兩縣災后重建，A市現有物質200噸，B市現有物質300噸，現將這些物質全部調往C、D兩縣，C縣需這種物質240噸，D縣需這種物質260噸，從A市運往C、D兩縣的費用分別為每噸20元和25元，從B市運往C、D兩縣的費用分別為每噸15元和18元，設從B市運往C縣的物質為x噸．
（1）請填寫下表，并求調運物質到C縣運費與到D縣的運費相等時的x的值：
（2）設A、B兩市的總運費為W元，寫出W與X的函數關系式；并求出總運費最小的調運方案．
（3）經過近三年建設，從B市到C縣的路況得到改善，運費每噸減少m元，（2≤m≤10），其余線路運費不變，試確定m取何值時，總運費最小，是多少？

	C	D	總計
A	（240-x）噸	（x-40）噸	200噸
B	x噸	（300-x）噸	300噸
總計	240噸	260噸	500噸

Answer 1

分析：（1）根據A市現有物質200噸，B市現有物質300噸和C縣需這種物質240噸，D縣需這種物質260噸，即可用x表示從A，B兩市運往C縣或D縣的物質．根據調運物質到C縣運費與到D縣的運費相等，可列方程20（240-x）+15x=25（x-40）+18（300-x），解方程即可．
（2）根據費用等于物質噸數乘以單價，把總費用相加得到W=20（240-x）+15x+25（x-40）+18（300-x），然后求出x的范圍，利用一次函數的性質求最小值；
（3）列出解析式：W′=20（240-x）+（15-m）x+25（x-40）+18（300-x），用m的范圍得到它為減函數，則x=240，然后又得到
關于m的函數，利用函數的性質得到最小值．

解答：解：（1）如表，
∵調運物質到C縣運費與到D縣的運費相等，
∴20（240-x）+15x=25（x-40）+18（300-x），
解得x=

100

3

；

（2）W=20（240-x）+15x+25（x-40）+18（300-x），
=2x+9200；
∵x≥0，240-x≥0，x-40≥0，300-x≥0，
∴40≤x≤240，
而W隨x的增大而增大，
∴當x=40，W最小，W=2×40+9200=9280；

（3）W′=20（240-x）+（15-m）x+25（x-40）+18（300-x），
=（2-m）x+9200；
∵2≤m≤10，即2-m≤0，
∴當m=2，W′=9200；
當2＜m≤10，W′隨x的增大而減小，
∴x=240，W′=240（2-m）+9200=-240m+9680，
此時m=10，W′的最小值為9680-2400=7280，
所以m=10時，總運費最小，是7280．

點評：本題考查了一次函數的實際運用，列出一次函數關系式和自變量的取值范圍，然后利用一次函數的性質求函數的最大或最小值．