Question

已知一次函數y=

3

x-2的圖象經過（a，b），（a+1，b+k）兩點，并且與反比例函數y=

k

x

的圖象交于第一象限內一點A．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）求點A的坐標；
（3）若射線OA與x軸的夾角為30°請問：在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，直接寫出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由一次函數y=

3

x-2的圖象經過（a，b），（a+1，b+k）兩點，即可方程組：

b= 3 a-2                ① b+k= 3 (a+1)-2   ②

，解此方程組，即可求得k的值，即可求得反比例函數的解析式；
（2）聯立一次函數與反比例函數的解析式，得：

y= 3 x-2 y= 3 x

，解此方程組，即可求得點A的坐標；
（3）分別從OP=OA，OA=AP，AP=AP去分析求解，結合圖形，即可求得符合條件的點P的坐標．

解答：解：（1）∵一次函數y=

3

x-2的圖象經過（a，b），（a+1，b+k）兩點，
∴

b= 3 a-2                ① b+k= 3 (a+1)-2   ②

，
②-①得：k=

3

，
∴反比例函數的解析式為：y=

3

x

；

（2）聯立一次函數與反比例函數的解析式，得：

y= 3 x-2 y= 3 x

，
解得：

x= 3 y=1

或

x=- 3 3 y=-3

，
∵點A在第一象限內，
∴點A的坐標為（

3

，1）；

（3）存在．
過點A作AB⊥x軸于B，
∵點A（

3

，1），
∴OA=

AB2+OB2

=2，
如圖1：當OP=OA時，OP=2，
則P₁（-2，0），P₂（2，0）；
當OA=PA時，OB=BP=

3

，
∴OP=OB+BP=2

3

，
∴P₃（2

3

，0）；
如圖2：取OA的中點C，過點C作PC⊥OA，交x軸于P，
則OP=AP，
∵OA=2，
∴OC=

1

2

OA=1，
∵∠AOP=30°，
∴OP=

OC

cos∠AOP

=

1

3 2

=

2 3

3

，
∴P₄（

2 3

3

，0）．
綜上，符合條件的點P的坐標為：P₁（-2，0），P₂（2，0），P₃（2

3

，0），P₄（

2 3

3

，0）．

點評：此題屬于反比例函數的綜合題，考查了待定系數求函數解析式、等腰三角形的性質以及垂直平分線的性質．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握數形結合思想、函數思想、分類討論思想與方程思想的應用，注意掌握輔助線的作法．