Question

【題目】直線與軸、軸分別交于點、，拋物線經過點、點，與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，點在軸上，連接，若，求點的坐標；

（3）如圖2，將拋物線平移，使其頂點是坐標原點，得到拋物線，平移直線經過原點，交拋物線于點．點，點是第一象限內一動點，交于點，軸分別交、于、，試探究與之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）、；（3）

【解析】

（1）先求出點B的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）先在軸負半軸上取一點，使，證明即可求出OP得到點P的坐標；

（3）求出直線的解析式為y=nx，直線的解析式，聯立求得點，利用軸分別交、于、，求出，，得到，，即可證得結論QS=SR.

解：（1）在y=-x+1中，令，得，

∴，

∵經過點、點，

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為：．

（2）在y=-x+1中，令，得，

∴，

在中，令，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

在軸負半軸上取一點，使，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

∴，

∴，

∴，

根據對稱性知也符合要求.

綜上所述，符合條件的點的坐標為、.

（3）依題意知：拋物線的解析式為，直線的解析式為，

∴，

設，∵，

∴直線的解析式為y=nx，

直線的解析式，

聯立，

消去整理得，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵軸分別交、于、，

∴，，

∴，

，

∴.