Question

【題目】如圖，M、N分別是正方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，已知：∠MAN=30°，AM=AN，△AMN的面積為1．
（1）求∠BAM的度數(shù)；
（2）求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=∠D=∠BAD=90°，

∵AM=AN，

在Rt△ABM和Rt△ADN中，

，

∴△ABM≌△ADN（HL），

∴∠BAM=∠DAN，

∵∠MAN=30°，∠BAD=90°，

∴∠BAM=30°．

（2）解：作MH⊥AN于H．設(shè)BM=x，則AM=AN=2x，MH=x，

∵ ANMH=1，

∴ 2xx=1，

解得x=1或﹣1（舍棄），

∴AB= BM= ，

∴正方形ABCD的邊長為 ．

【解析】（1）只要證明△ABM≌△ADN（HL），推出∠BAM=∠DAN，由∠MAN=30°，∠BAD=90°，即可推出∠BAM=30°；（2）作MH⊥AN于H．設(shè)BM=x，則AM=AN=2x，MH=x，根據(jù) ANMH=1，列出方程即可；
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的正方形的性質(zhì)，需要了解正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．