Question

【題目】矩形OABC在直角坐標系中的位置如圖所示，A、C兩點的坐標分別為A（10，0）、C（0，3），直線 與BC相交于點D，拋物線y=ax2+bx經過A、D兩點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AD，試判斷△OAD的形狀，并說明理由．
（3）若點P是拋物線的對稱軸上的一個動點，對稱軸與OD、x軸分別交于點M、N，問：是否存在點P，使得以點P、O、M為頂點的三角形與△OAD相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得，點D的縱坐標為3，

∵點D在直線y= x上，

∴點D的坐標為（9，3），

將點D（9，3）、點A（10，0）代入拋物線可得： ，

解得： ，

故拋物線的解析式為：y=﹣ x2+ x．

（2）

解：∵點D坐標為（9，3），點A坐標為（10，0），

∴OA=10，OD= =3 ，AD= = ，

從而可得OA2=OD2+AD2，

故可判斷△OAD是直角三角形．

（3）

解：①由圖形可得當點P和點N重合時能滿足△OPM∽△ODA，

此時∠POM=∠DOA，∠OPM=∠ODA，

故可得△OPM∽△ODA，OP= OA=5，

即可得此時點P的坐標為（5，0）．

②過點O作OD的垂線交對稱軸于點P′，此時也可滿足△P′OM∽△ODA，

由題意可得，點M的橫坐標為5，代入直線方程可得點M的縱坐標為 ，

故可求得OM= ，

∵∠OP′M+∠OMN=∠DOA+∠OMN=90°，

∴∠OP′M=∠DOA，

∴△P′OM∽△ODA，

故可得 = ，即 = ，

解得：MP′= ，

又∵MN=點M的縱坐標= ，

∴P′N= ﹣ =15，

即可得此時點P′的坐標為（5，﹣15）．

綜上可得存在這樣的點P，點P的坐標為（5，0）或（5，﹣15）．

【解析】（1）根據題意可得出點D的縱坐標為3，代入直線解析式可得出點D的橫坐標，從而將點D和點A的坐標代入可得出拋物線的解析式．（2）分別求出OA、OD、AD的長度，繼而根據勾股定理的逆定理可判斷出△OAD是直角三角形．（3）①由圖形可得當點P和點N重合時能滿足△OPM∽△ODA，②過點O作OD的垂線交對稱軸于點P′，此時也可滿足△P′OM∽△ODA，利用相似的性質分別得出點P的坐標即可．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．