Question

【題目】數學活動課上，某學習小組對有一內角為120°的平行四邊形ABCD（∠BAD=120°）進行探究：將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內旋轉，且60°角的頂點始終與點C重合，較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB，AD于點E，F（不包括線段的端點）．

（1）初步嘗試
如圖1，若AD=AB，求證：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；
（2）類比發現
如圖2，若AD=2AB，過點C作CH⊥AD于點H，求證：AE=2FH；
（3）深入探究
如圖3，若AD=3AB，探究得： 的值為常數t，則t= ．

Answer 1

【答案】
（1）

解: ①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD=120°，

∴∠D=∠B=60°，

∵AD=AB，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，

∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，

∵∠ECF=60°，

∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，

∴∠BCE=∠ACF，

在△BCE和△ACF中，

∴△BCE≌△ACF．

②∵△BCE≌△ACF，

∴BE=AF，

∴AE+AF=AE+BE=AB=AC．

（2）

解: 設DH=x，由由題意，CD=2x，CH= x，

∴AD=2AB=4x，

∴AH=AD﹣DH=3x，

∵CH⊥AD，

∴AC= =2 x，

∴AC2+CD2=AD2，

∴∠ACD=90°，

∴∠BAC=∠ACD=90°，

∴∠CAD=30°，

∴∠ACH=60°，

∵∠ECF=60°，

∴∠HCF=∠ACE，

∴△ACE∽△HCF，

∴ =2，

∴AE=2FH．

（3）
【解析】（3）解: 如圖3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM與AD交于點H．

∵∠ECF+∠EAF=180°，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∵∠AFC+∠CFN=180°，
∴∠CFN=∠AEC，∵∠M=∠CNF=90°，
∴△CFN∽△CEM，
∴ ，
∵ABCM=ADCN，AD=3AB，
∴CM=3CN，
∴ = ，設CN=a，FN=b，則CM=3a，EM=3b，
∵∠MAH=60°，∠M=90°，
∴∠AHM=∠CHN=30°，
∴HC=2a，HM=a，HN= a，
∴AM= a，AH= a，
∴AC= = a，
AE+3AF=（EM﹣AM）+3（AH+HN﹣FN）=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM= a，
∴ = = ．
故答案為 ．
本題考查幾何變換綜合題．全等三角形的判定和性質．相似三角形的判定和性質、等邊三角形的性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形，學會添加常用輔助線，學會利用參數解決問題，屬于中考壓軸題．（1）①先證明△ABC，△ACD都是等邊三角形，再證明∠BCE=∠ACF即可解決問題．②根據①的結論得到BE=AF，由此即可證明．（2）設DH=x，由由題意，CD=2x，CH= x，由△ACE∽△HCF，得 由此即可證明．（3）如圖3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM與AD交于點H．先證明△CFN∽△CEM，得 ，由ABCM=ADCN，AD=3AB，推出CM=3CN，所以 = ，設CN=a，FN=b，則CM=3a，EM=3b，想辦法求出AC，AE+3AF即可解決問題．