Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+6x交x軸正半軸于點A，頂點為M，對稱軸MB交x軸于點B．過點C（2，0）作射線CD交MB于點D（D在x軸上方），OE∥CD交MB于點E，EF∥x軸交CD于點F，作直線MF．

（1）求點A，M的坐標．
（2）當BD為何值時，點F恰好落在該拋物線上？
（3）當BD=1時
求直線MF的解析式，并判斷點A是否落在該直線上．
（4）②延長OE交FM于點G，取CF中點P，連結PG，△FPG，四邊形DEGP，四邊形OCDE的面積分別記為S1 ， S2 ， S3 ， 則S1：S2：S3= ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0，則﹣x2+6x=0，解得x=0或x=6，

∴A點坐標為（6，0），

又∵y=﹣x2+6x=﹣（x﹣3）2+9，

∴M點坐標為（3，9）

（2）

解：∵OE∥CF，OC∥EF，

∴四邊形OCFE為平行四邊形，且C（2，0），

∴EF=OC=2，

又B（3，0），

∴OB=3，BC=1，

∴F點的橫坐標為5，

∵點F落在拋物線y=﹣x2+6x上，

∴F點的坐標為（5，5），

∴BE=5，

∵OE∥CF，

∴ ，即 = ，

∴BD= ；

（3）

解：當BD=1時，由（2）可知BE=3BD=3，

∴F（5，3），

設直線MF解析式為y=kx+b，

把M、F兩點坐標代入可得 ，解得 ，

∴直線MF解析式為y=﹣3x+18，

∵當x=6時，y=﹣3×6+18=0，

∴點A落在直線MF上

（4）3：4：8
【解析】解：（4）如圖所示，

∵E（3，3），
∴直線OE解析式為y=x，
聯立直線OE和直線MF解析式可得 ，解得 ，
∴G（ ， ），
∴OG= = ，OE=CF=3 ，
∴EG=OG﹣OE= ﹣3 = ，
∵ = ，
∴CD= OE= ，
∵P為CF中點，
∴PF= CF= ，
∴DP=CF﹣CD﹣PF=3 ﹣ ﹣ = ，
∵OG∥CF，
∴可設OG和CF之間的距離為h，
∴S△FPG= PFh= × h= h，
S四邊形DEGP= （EG+DP）h= ×（ + ）h= h，
S四邊形OCDE= （OE+CD）h= （3 + ）h=2 h，
∴S1 ， S2 ， S3= h： h：2 h=3：4：8，
所以答案是：3：4：8．