Question

【題目】圖1是一個(gè)小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲，鐵環(huán)是圓形的，鐵環(huán)向前滾動(dòng)時(shí)，鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切．將這個(gè)游戲抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，如圖2．已知鐵環(huán)的半徑為25cm，設(shè)鐵環(huán)中心為O，鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點(diǎn)為M，鐵環(huán)與地面接觸點(diǎn)為A，∠MOA=α，且sinα= ．

（1）求點(diǎn)M離地面AC的高度BM；
（2）設(shè)人站立點(diǎn)C與點(diǎn)A的水平距離AC=55cm，求鐵環(huán)鉤MF的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】
（1）解：過(guò)點(diǎn)M作MD⊥OA交OA于點(diǎn)D，

在RT△ODM中，sinα= ，

∴DM=15cm∴OD=20 cm，

∴AD=BM=5cm

（2）解：延長(zhǎng)DM交CF于點(diǎn)E，

易得：∠FME=∠AOM=α，

∵M(jìn)E=AC﹣DM=55﹣15=40cm，

∴cosα=

∴MF=50cm．

【解析】（1）過(guò)M作與AC平行的直線，與OA、FC分別相交于H、N．那么求BM的長(zhǎng)就轉(zhuǎn)化為求HA的長(zhǎng)，而要求出HA，必須先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα的值，且鐵環(huán)的半徑為5個(gè)單位即OM=5，可求得HM的值，從而求得HA的值；（2）因?yàn)椤螹OH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH，又因?yàn)閟in∠MOA= ，所以可得出FN和FM之間的數(shù)量關(guān)系，即FN= FM，再根據(jù)MN=11﹣3=8，利用勾股定理即可求出FM=10個(gè)單位．