Question

市政府提供了80萬元無息貸款，用于某大學生開辦公司生產并銷售自主研發的一種電子產品，并約定用該公司經營的利潤逐步償還無息貸款．已知該產品的生產成本為每件40元，員工每人每月的工資為2500元，公司每月需支付其它費用15萬元．該產品每月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系如圖所示：
（1）求月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；
（2）（2）當銷售單價定為50元時，為保證公司月利潤達到5萬元（利潤=銷售額-生產成本-員工工資-其它費用），該公司可安排員工多少人？
（3）若該公司有80名員工，求出公司月利潤W（萬元）與x（元）之間的函數關系式；并說明該公司最早可在幾個月后還清貸款．

Answer 1

⑴ 當40＜x≤60時， 
當60＜x＜100時，.
⑵假設公司可安排員工a人，定價50元時，
由5=(-0.1x+8)(x-40)-15-0.25a得a=40(人)
⑶當40＜x≤60時，
月利潤W=(-0.1x＋8)(x-40)-15-0.25×80
=-0.1x²+12x-355=-0.1(x-60)²+5
所以當x=60,利潤最大為5，則公司最早可在16個月還清.
當60＜x＜100時，
月利潤W=（-0.05x＋5)（x-40）－15－0.25a
=-0.05x²+7x-235=-0.05(x-70)²+10
∴x＝70時,利潤最大為10（萬元），此時最早還款時間為8個月
∴要盡量還清貸款，只有當單價x＝70元時，獲得最大月利潤10萬元，還款最早為8個月. 

（1）從圖中看，這是一個分段一次函數，40＜x≤60和60＜x＜100時，函數的表達式不同，每段函數都經過兩點，使用待定系數法即可求出函數關系式；
（2）利用（1）中的函數關系，當銷售單價定為50元時，可計算出月銷售量，設可安排員工m人，利潤=銷售額一生產成本-員工工資-其它費用，列出方程即可解；
（3）先分情況討論出利潤的最大值，即可求解．