Question

【題目】若凸四邊形的兩條對角線所夾銳角為60°，我們稱這樣的凸四邊形為“完美四邊形”．

（1）①在“平行四邊形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四邊形”的有　 　；

②若矩形ABCD是“完美四邊形”，且AB＝4，則BC＝　 　；

（2）如圖1，“完美四邊形”ABCD內接于⊙O，AC與BD相交于點P，且對角線AC為直徑，AP＝1，PC＝5，求另一條對角線BD的長；

（3）如圖2，平面直角坐標系中，已知“完美四邊形”ABCD的四個頂點A（﹣3，0）、C （2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC與BD交于點O，直線BD的斜率為，且四邊形ABCD的面積為15，若二次函數y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數，且a≠0）的圖象同時經過這四個頂點，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）①菱形、正方形；②4或；（2）BD＝2；（3）a的值為或．

【解析】

（1）①由菱形、正方形的對角線互相垂直即可判斷．

②矩形ABCD對角線相等且互相平分，再加上對角線夾角為60°，即出現等邊三角形，所以得到矩形相鄰兩邊的比等于tan60°．由于AB邊不確定是較長還是較短的邊，故需要分類討論計算．

（2）過O點作OH垂直BD，連接OD，由∠DPC=60°可求得OH，在Rt△ODH中勾股定理可求DH，再由垂徑定理可得BD=2DH．

（3）由BD與x軸成60°角可知直線BD解析為y=x，由二次函數圖象與x軸交點為A、C可設解析式為y=a（x+3）（x-2），把兩解析式聯立方程組，消去y后得到關于x的一元二次方程，解即為點B、D橫坐標，所以用韋達定理得到xB+xD和xBxD進而得到用a表示的（xB-xD）2．又由四邊形面積可求得xB-xD=6，即得到關于a的方程并解方程求得a．

（1）①∵菱形、正方形的對角線互相垂直，

∴菱形、正方形不是“美麗四邊形”．

故答案為：菱形、正方形．

②設矩形ABCD對角線相交于點O

∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABC＝90°，

∴AO＝BO＝CO＝DO，

∵矩形ABCD是“美麗四邊形”，

∴AC、BD夾角為60°，

i）如圖1，若AB＝4為較短的邊，則∠AOB＝60°，

∴△OAB是等邊三角形

∴∠OAB＝60°

∴Rt△ABC中，tan∠OAB＝，

∴BC＝AB＝4，

ii）如圖2，若AB＝4為較長的邊，則∠BOC＝60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OCB＝60°，

∴Rt△ABC中，tan∠OCB＝＝，

∴BC＝＝．

（2）過點O作OH⊥BD于點H，連接OD

∴∠OHP＝∠OHD＝90°，BH＝DH＝BD，

∵AP＝1，PC＝5

∴⊙O直徑AC＝AP+PC＝6

∴OA＝OC＝OD＝3

∴OP＝OA﹣AP＝3﹣1＝2

∵四邊形ABCD是“美麗四邊形”

∴∠OPH＝60°，

∴Rt△OPH中，sin∠OPH＝，

∴OH＝＝，

∴Rt△ODH中，DH＝＝＝，

∴BD＝2DH＝2．

（3）過點B作BM⊥x軸于點M，過點D作DN⊥x軸于點N

∴∠BMO＝∠DNO＝90°

∵直線BD的斜率為，

∴直線BD解析式為y＝x，

∵二次函數的圖象過點A（﹣3，0）、C（2，0），即與x軸交點為A、C

∴用交點式設二次函數解析式為y＝a（x+3）（x﹣2）

∵，

整理得：ax2+（a﹣）x﹣6a＝0，

∴xB+xD＝﹣，xBxD＝﹣6

∴（xB﹣xD）2＝（xB+xD）2﹣4xBxD＝（﹣）2+24

∵S四邊形ABCD＝S△AB+S△ACD＝ACBM+ACDN＝AC（BM+DN）＝AC（yD﹣yB）＝AC（xD﹣xB）＝（xB﹣xD）．

∴（xB﹣xD）＝15，

∴xB﹣xD＝6，

∴（﹣）2+24＝36，

解得：a1＝，a2＝．

∴a的值為或．