Question

【題目】在△ABC中,∠ACB=900，AC=BC=4，M為AB的中點,D是射線BC上一個動點, 連接AD,將線段AD繞點A逆時針旋轉900，得到線段AE,連接DE,N為DE的中點, 連接AN,MN.

(1)如圖1，當BD=2時,AN= ,NM= ,MN與AB的位置關系是 .

(2)當4<BD<8時.

①依題意補全圖2：

②判斷(1)中MN與AB的位置關系是否發生變化，并證明你的結論.

(3)連接ME，在點D運動的過程中，當BD/的長為何值時，ME的長最小，最小值是多少？請直接寫出結果.

Answer 1

【答案】（1），垂直（2）①圖形見解析②位置關系不變，

【解析】試題分析：（1）根據已知條件得到CD=2，根據勾股定理得到AD==2，根據旋轉的性質得到△ADE是等腰直角三角形，求得DE=AD=2，根據直角三角形的性質得到AN=DE=，AM=AB=2，推出△ACD∽△AMN，根據相似三角形的性質即可得到結論；（2）①根據題意補全圖形即可；②根據等腰直角三角形的性質得到∠CAB=∠B=45°，求得∠CAN+∠NAM=45°根據旋轉的性質得到AD=AE，∠DAE=90°，推出△ANM△ADC，由相似三角形的性質得到∠AMN=∠ACD，即可得到結論；（3）連接ME，EB，過M作MG⊥EB于G，過A作AK⊥AB交BD的延長線于K，得到△AKB等腰直角三角形，推出△ADK≌△ABE，根據全等三角形的性質得到∠ABE=∠K=45°，證得△BMG是等腰直角三角形，求出BC=4，AB=4，MB=2，由ME≥MG，于是得到當ME=MG時，ME的值最小，根據等量代換即可得到結論．

試題解析：(1)∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，

∴CD=2，

∴AD==2，

∵將線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴DE=AD=2，

∵N為ED的中點，

∴AN=DE=，

∵M為AB的中點，

∴AM=AB=2，

∵， ，

∴ = ，

∵∠CAB=∠DAN=45°，

∴∠CAD=∠MAN，

∴△ACD∽△AMN，

∴∠AMN=∠C=90°，

∴MN⊥AB，

故答案為： ，垂直；

(2)①補全圖形如圖2所示,

②(1)中NM與AB的位置關系不發生變化，

理由：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠B=45°，

∴∠CAN+∠NAM=45°，

∵線段AD繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，

∴AD=AE,∠DAE=90°，

∵N為ED的中點，

∴∠DAN=12∠DAE=45°，AN⊥DE，

∴∠CAN+∠DAC=45°，

∴∠NAM=∠DAC,在Rt△AND中,ANAD=cos∠DAN=cos45°=2，

同理ACAB=2 ，

∴ = ，，

∵∠DAC=45°∠CAN=∠MAN，

∴△ANM∽△ADC，

∴∠AMN=∠ACD，

∵D在BC的延長線上，

∴∠ACD=180°∠ACB=90°，

∴∠AMN=90°，

∴MN⊥AB；

(3)連接ME，EB，過M作MG⊥EB于G，過A作AK⊥AB交BD的延長線于K，

則△AKB等腰直角三角形，

在△ADK與△ABE中，

，

∴△ADK≌△ABE，

∴∠ABE=∠K=45°，

∴△BMG是等腰直角三角形，

∵BC=4，

∴AB=4,MB=2，

∴MG=2，

∵∠G=90°，

∴MEMG，

∴當ME=MG時，ME的值最小，

∴ME=BE=2，

∴DK=BE=2，

∵CK=BC=4，

∴CD=2，

∴BD=6，

∴BD的長為6時，ME的長最小，最小值是2.