Question

【題目】已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F，Q為斜邊AB的中點．

（1）如圖1，當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是　 ，QE與QF的數量關系是　 ；

（2）如圖2，當點P在線段AB上不與點Q重合時，若AC＝BC，CE：AE＝1:3，△FBQ的面積等于3，求△AQE的面積；

（3）如圖3，當點P在線段BA的延長線上時，請畫出符合條件的圖形．若AC＝BC，AE：CE＝1:3，△FEQ的面積等于3，求△AQE的面積．

Answer 1

【答案】（1）AE∥BF，QE=QF；（2）9；（3）.

【解析】

（1）根據AAS推出△AEQ≌△BFQ，推出AE=BF即可；（2）延長EQ交BF于D，求出△AEQ≌△BDQ，根據全等三角形的性質得出EA=BD，再證明△AEQ≌△BDQ，所以AE=BD，CE=BF，又因為CE：AE＝1:3，從而得BF:BD=1:3,即△FBQ的面積：△DBQ的面積=1:3，計算△DBQ的面積=9,從而求解；(3)方法同（2）證出 Rt△AEC≌Rt△CFB，連接CQ, 由AE：CE＝1:3，得CF：CE＝1:3，再根據高相等的三角形面積比等于底的比得出△CFQ的面積與△EFQ的面積面積比，從而求出△CFQ的面積，然后根據SAS 證明 △QAE≌△QCF，從而求解.

解：（1）當點P與點Q重合時，AE與BF的位置關系是AE∥BF，QE與QF的數量關系是AE=BF，
理由是：∵Q為AB的中點，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90°，
在△AEQ和△BFQ中，

∴△AEQ≌△BFQ，
∴QE=QF，
故答案為：AE∥BF，QE=QF；

(2) 延長EQ交BF于D，如圖2：

∵由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在△AEQ和△BDQ中，

∴△AEQ≌△BDQ，

∴AE=BD,

∵∠ACE+∠FCB=∠FCB+∠CBF=90°

∴∠ACE =∠CBF

又∵∠AEC=∠CFB=90°，AC=CB,

∴△AEQ≌△BDQ

∴AE=BD，CE=BF

又∵CE：AE＝1:3，∴BF:BD=1:3,即△FBQ的面積：△DBQ的面積=1:3

又∵△FBQ的面積等于3，∴△DBQ的面積=9,
∵△AEQ≌△BDQ，

∴△AEQ的面積=9；

（3）圖形如下：連接CQ,

方法同（2）可得：Rt△AEC≌Rt△CFB(一線三等角)，

∴AE=CF，EC=FB，∠EAC=∠FCB,

∵AE：CE＝1:3，

∴CF：CE＝1:3，

∴△CFQ的面積：△ECQ的面積=1:3，△CFQ的面積：△EFQ的面積=1:4，△FEQ的面積等于3，

即：△CFQ的面積=，

∵Q為斜邊AB的中點，AC=BC,

∴CQ=AQ，∠QAC=∠QCB=45°，

∴∠EAC+∠QAC =∠FCB+∠QCB，

即∠QAE=∠QCF

∴△QAE≌△QCF (SAS)

∴△AQE的面積=△CFQ的面積=，