Question

【題目】如圖，已知平行四邊形ABCD，∠ABC＝120°，點E為線段BC上的動點，連接AE，將線段AE繞點A逆時針旋轉60°得到線段AF，點E的對應點是點F，連接EF.

（1）當點E與點B重合時，在圖1中將圖補充完整，并求出∠CEF的度數；

（2）如圖2，求證：點F在∠ABC的平分線上.

Answer 1

【答案】（1）圖見解析；60；（2）見解析

【解析】

（1）當點E與點B重合時，F點在AD上，根據題意畫出圖形后可得△AEF是等邊三角形，即可求解；

（2）過F點作FG⊥AB交BA的延長線于G點，作FH⊥BC于H點，證△AFG≌△EFH，可得FG=FH，根據角平分線的判定定理即可得證.

（1）如圖所示：平行四邊形ABCD，∠ABC＝120°，故∠A=60°，F點在AD上.

由旋轉的性質可得：AE=AF，∠EAF=60°

∴△AEF為等邊三角形

∴∠AEF=60°

∵∠ABC＝120°

∴∠CEF=∠ABC-∠ABF=60°

（2）如圖，過F點作FG⊥AB交BA的延長線于G點，作FH⊥BC于H點

由（1）可得：△AEF是等邊三角形

∴FA=FE，∠AFE=60°

∵FG⊥AB，FH⊥BC，∠ABC=120°

∴∠GFH=360°-90°-90°-120°=60°

∴∠GFH=∠AFE

∴∠GFH-∠AFH=∠AFE-∠AFH

即∠AFG=∠EFH

又∠FHE=∠FGA=90°，FA=FE

∴△AFG≌△EFH

∴FG=FH

又∵FG⊥AB，FH⊥BC

∴點F在∠ABC的平分線上.