Question

【題目】已知關于x的一元二次方程.

（1）求證：不管為何值，方程總有實數根；

（2）若等腰三角形ABC的一邊長,另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求此三角形的周長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）16或22.

【解析】試題分析：

（1）計算出“根的判別式△的值”，然后通過配方可知無論k去何值，△的值恒大于或等于0，由此可得結論；

（2）因為題目中沒有告訴等腰△ABC中邊是腰還是底，故要分兩種情況討論：①當為腰時，則中有一邊為腰，即原方程有一根為6，代入方程可解得k的值，進一步可求得方程的另一根，從而可求△ABC的周長；②當為底時，則都為腰，此時原方程有兩個相等的實數根，則△=0，由此可求出k的值，代入原方程求解，從而可求△ABC的周長.

試題解析：

（1）∵在方程 中，△====，

∴無論k為何值，△0 ，

∴不管k為何值，原方程總有實數根；

（2）①當為腰時，則中有一邊為腰，即原方程有一根為6，把代入原方程得： ，解得；當時，原方程為： ，解得，即中一邊為4，一邊為6，則△ABC的周長為16；當時，原方程為： ，解得，即中一邊為6，一邊為10，此時△ABC的周長為22.

②當為底時，則兩邊均為腰，即原方程有兩個相等的實數根，∴△==0，解得k=1，此時原方程為： ，解得： ，即兩邊均為2，∵2+2<6，∴此時三邊圍不成三角形，此種情況不成立；

綜合①、②可得△ABC的周長為16或22.