Question

在數學活動課上，老師要求同學們先做下面的“循環分割”操作，然后再探索規律：
如圖1，是一等腰梯形紙片，其腰長與上底長相等，且底角分別60°和120°，按要求開始操作（每次分割，紙片均不得留有剩余）；

第1次分割：將原等腰梯形紙片分割成3個等邊三角形；
第2次分割：將上次分割出的一個等邊三角形分割成3個全等的等腰梯形，然后將剛分割出的一個等腰梯形分割成3個等邊三角形；
以后按第2次分割的方法進行下去…請解答下列問題：
（1）請你在圖2中畫出前兩次分割后的圖案；
（2）若原等腰梯形的面積為a，請你通過操作、觀察，將第2次，第3次分割后所得的一個最小等邊三角形的面積分別填入下表：
 

分割次數（n）	1	2	3	…
一個最小等邊三角形的面積（S）	1 3 a			…

（3）請你猜想，分割所得的一個最小等邊三角形面積S與分割次數n有何關系？（請直接用含a的式子表示，不需寫推理過程）

Answer 1

分析：仔細分析題意，根據數據首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，從而用式子表示．

解答：解：
（1）．
（2）

根據圖形，得到第二次分割得到的最小的等邊三角形面積為(

1

3

)3a；
同理第三次分割得到的最小等邊三角形的面積為(

1

3

)5a；
故答案為：(

1

3

)3a；(

1

3

)5a；
（3）歸納總結得到：S=

1

32n-1

a．

點評：主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力．對于找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的．通過分析找到各部分的變化規律后用一個統一的式子表示出分式的符號的變化規律是此類題目中的難點．