Question

【題目】如圖，直線y=kx+b與坐標軸交于A，B兩點，其中點B的坐標為（0，4），tan∠BAO=，一條拋物線的頂點為坐標原點，且與直線y=kx+b交于點C（m，8），點P為線段BC上一動點（不與點B，點C重合），PD⊥x軸于點D，交拋物線于點Q.

（1）求直線和拋物線的函數關系式；

（2）設點P的橫坐標為t，線段PQ的長度為d，求出d與t之間的函數關系式，并求出d的最大值；

（3）是否存在點P的位置，使得以點P，D，B為頂點的三角形是等腰三角形？如果存在，直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x+4，y=x2；（2）d=﹣t2+t+4,當t=2時，d有最大值；（3）存在，P點坐標為（2+2，5+）或（，），理由見解析

【解析】（1）利用三角形函數先求出A點坐標，再利用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）將點P、Q的坐標用含t的式子表示出來，利用兩點間的距離公式即可求出d與t之間的函數關系式，利用頂點公式即可求出d的最大值；

（3）從PB=BD或PB=PD或BD=PD三種情況進行討論即可.

解：（1）∵B（0，4），

∴OB=4，

在Rt△AOB中，∵tan∠BAO==，

∴OA=2OB=8，

∴A（﹣8，0），

把A（﹣8，0），B（0，4）代入y=kx+b得，解得，

∴直線AB的解析式為y=x+4，

當y=8時，x+4=8，解得x=8，則C（8，8），

設拋物線解析式為y=ax2，

把C（8，8）代入得64a=8，解得a=，

∴拋物線的解析式為y=x2；

（2）設P（t，t+4）（0＜t＜8），則Q（t，t2），

∴d=t+4﹣t2

=﹣t2+t+4，

∵d=﹣（t﹣2）2+，

∴當t=2時，d有最大值；

（3）存在．

∵B（0，4），P（t，t+4），D（t，0），

∴PB2=t2+（t+4﹣4）2=t2，DB2=t2+42=t2+16，PD2=（t+4）2=t2+4t+16，

當PB=BD時，△PBD為等腰三角形，即t2=t2+16，解得t1=8（舍去），t2=﹣8（舍去）；

當PB=PD時，△PBD為等腰三角形，即t2=t2+4t+16，解得t1=2﹣2（舍去），t2=2+2，此時P點坐標為（2+2，5+）；

當BD=PD時，△PBD為等腰三角形，即t2+16=t2+4t+16，解得t1=0（舍去），t2=，此時P點坐標為（，）；

綜上所述，P點坐標為（2+2，5+）或（，）．