Question

【題目】如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點，點A在點B的左邊，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是直線AC下方的拋物線上一動點，不與點A、C重合，求過點P作x軸的垂線交于AC于點E，求線段PE的最大值及P點坐標；

（3）在拋物線的對稱軸上足否存在點M，使得△ACM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣6；（2）最大值為， P點坐標為（﹣3，﹣）；（3）存在,理由見解析.

【解析】分析：設拋物線的解析式為：把點A坐標代入運算即可.

（2）易求得直線AC解析式，即可求得PE長度隨橫坐標x的變化的二次函數式，求得二次函數的最大值即可解題；
（3）存在3種情況：①∠ACM=90°，②∠CAM=90°，③∠AMC=90°，分類討論即可求得M的值，即可解題．

詳解：（1）設拋物線的解析式為

把代入得 解得

∴拋物線的解析式為，即

（2）如圖，當x=0時，，則

設直線AC解析式為y=kx+b，把,代入得，解得

∴直線AC解析式為y=x6，

設則

∴

當時，PE的長度有最大值，最大值為，此時P點坐標為

（3）存在．

拋物線的對稱軸為直線

設

∵,

∴

當，為直角三角形，即解得t=4，此時M點坐標為

當，為直角三角形，即解得，此時M點坐標為

當,為直角三角形，即解得 此時M點坐標為 或

綜上所述，M點的坐標為或或或