Question

【題目】對某一個函數給出如下定義：如果存在實數，對于任意的函數值，都滿足，那么稱這個函數是有上界函數，在所有滿足條件的中，其最小值稱為這個函數的上確界．例如下圖中的函數是有上界函數，其上確界是2．

（1）分別判斷函數（）和（）是不是有上界函數？如果是有上界函數，求其上確界；

（2）如果函數（）的上確界是，且這個函數的最小值不超過，求的取值范圍；

（3）若函數（）是以3為上確界的有上界函數，求值．

Answer 1

【答案】（1）y=（x＜0）不是有上界函數；y=2x-3（x＜2）是有上界函數，上確界是1；（2）-1≤a＜1；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據有界函數函數的定義和上確界定義分析即可；

（2）根據函數的上確界和函數增減性得到2-a=b，函數的最小值為2-b，根據b＞a，函數的最小值不超過2a+1，列不等式求解集即可；

（3）根據對稱軸方程x=a和上確界為3，分類討論a≤3時和a＞3時，列方程求解．

試題解析：（1）根據有界函數定義，y=（x＜0）不是有上界函數；y=2x-3（x＜2）是有上界函數，上確界是1；

（2）∵在y=-x+2中，y隨x的增大而減小，

∴上確界為2-a，即2-a=b，

又b＞a，所以2-a＞a，解得a＜1，

∵函數的最小值是2-b，∴2-b≤2a+1，得a≤2a+1，解得a≥-1，

綜上所述：-1≤a＜1；

（3）函數的對稱軸為x=a，

①當a≤3時，函數的上確界是25-10a+2=27-10a，

∴27-10a=3，解得a=，符合題意；

②當a＞3時，函數的上確界是1-2a+2=3-2a，

∴3-2a=3，解得a=0，不符合題意．

綜上所述：a=．