Question

【題目】如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊BC、AC上，且CD＝CE，聯結DE并延長至點F，使EF＝AE，聯結AF，CF，聯結BE并延長交CF于點G．

(1)求證：BC＝DF;

(2)若BD＝2DC，求證：GF＝2EG;

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

(1)先證明△CDE是等邊三角形，再根據∠CDE＝∠ABC＝60°推出DF∥AB，然后根據推出AF∥BC，從而得出四邊形ABDF是平行四邊形，于是AB＝DF，進一步即得結論；

(2)先用SAS證明△BCE≌△FDC，從而得∠CBE＝∠DFC，再證△BDE∽△FGE，于是可得，進一步即可證得結論．

證明：(1)∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵CD＝CE，∴△CDE是等邊三角形，

∴∠CDE＝∠ABC＝60°，∴DF∥AB，

∵EF＝AE，DE＝CE，∴，∴AF∥BC，

∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AB＝DF，

又∵AB＝BC，∴BC＝DF；

(2)∵△CDE是等邊三角形，∴∠CDE＝∠DCE＝60°，CE＝CD＝DE，

又∵BC＝DF，∴△BCE≌△FDC（SAS），∴∠CBE＝∠DFC，

又∵∠BED＝∠FEG，∴△BDE∽△FGE，∴，

又∵CD＝DE，BD＝2CD，∴，

∴GF＝2EG．