Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝﹣x2+bx+c的圖象與坐標軸交于A，B，C三點，其中點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（4，0），連接AC，BC．動點P從點A出發，在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C作勻速運動；同時，動點Q從點O出發，在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B作勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，設運動時間為t秒．連接PQ．

（1）求二次函數的解析式；

（2）在點P，Q運動過程中，△APQ可能是直角三角形嗎？請說明理由；

（3）點M在拋物線上，且△AOM的面積與△AOC的面積相等，求出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）在點P，Q運動過程中，△APQ不可能是直角三角形，理由詳見解析；（3）M（1，4）或（，﹣4）或（，﹣4）．

【解析】

（1）判斷出拋物線的解析式中二次項系數，再利用交點式，即可得出結論；

（2）分兩種情況：當∠AQP＝90°，判斷出點P在y軸右側，不符合題意，當∠APQ＝90°時，根據相似三角形的性質得出比例式，建立方程求出t的值，而t大于4，也不符合題意，即可得出結論；

（3）先求出△AOC的面積，進而得出△AOM的面積，進而建立方程求解即可得出結論．

解：（1）∵二次函數y＝﹣ x2+bx+c過點A（﹣3，0），B（4，0），

∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+3）（x﹣4）＝﹣x2+x+4；

（2）在點P，Q運動過程中，△APQ不可能是直角三角形，

理由：由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4，

∴C（0，4），

∵A（﹣3，0），B（4，0），

∴AC＝5，OA＝3，OC＝4，

由運動知，AP＝t，OQ＝t，

∴AQ＝3+t，（0＜t＜4）

∵∠OAP是Rt△AOC的一個銳角，

∵△APQ是直角三角形，

①當∠AQP＝90°時，

∵∠AOC＝90°＝∠AQP，

∴PQ∥y軸，

∵點Q在OB上，

∴點P不可能在第二象限內，此種情況不存在，

②當∠APQ＝90°時，

∵∠AOC＝90°＝∠APQ，

∵∠PAQ＝∠OAC，

∴△AOC∽△APQ，

∴，

∴ ，

∴t＝ ，

∵0＜t＜4，

∴此種情況不符合題意，

即在點P，Q運動過程中，△APQ不可能是直角三角形；

（3）由（2）知，OA＝3，OC＝4，

∴S△AOC＝OAOC＝6，

∵△AOM的面積與△AOC的面積相等，

∴S△AOM＝6，

設點M（m，﹣m2+m+4），

∴S△AOM＝OA|﹣m2+m+4|＝|﹣m2+m+4|＝6，

∴m＝0（舍）或m＝1或 ，

∴M（1，4）或（，﹣4）或（，﹣4）．